Лекция по "Математике"

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной  называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точкиx₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную(постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная  статья: Касательная прямая

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом илитангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скоростьдвижения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная  функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто  приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также  с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• ^[2]
• ^[3]
•  …(g ≠ 0)
•  (g ≠ 0)

 

Таблица производных некоторых функций

Функция	Производная	Примечание
		Доказательство                                   [показать]
		Доказательство                                   [показать]

 

 

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический  смысл производной.

Если  точка движется вдоль оси х  и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки: