Леонард Эйлер

Эйлер является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классические разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма функций. Он исследовал свойства элиптичных интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тэта-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

По замечанию П..Чебышева, Эйлер положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Эйлера. Так, Эйлер доказал ряд утверждений, высказанных П.Ферма, разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл знаменитую дзева - функцию и доказал т. н. тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными.

Великие заслуги Эйлера и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высшей степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т.н. тождество Эйлера о четырёх квадратах. Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке, поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и, например, доказал важную теорему о выпуклых многогранниках (встречающуюся в рукописях Р.Декарта без доказательства).

Эйлера - математика нередко характеризуют как гениального "вычислителя". Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для e и ). Однако Эйлер был не только исключительной силы "вычислителем". Он внёс в науку ряд глубоких идей. Даже в тех вопросах, где он, как и другие математики 18 века, стоял на шаткой почве, его рассуждения, как правило, могут быть строго обоснованны и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

По выражению П. Лапласса, Эйлер явился общим учителем математиков 2-й половины 18 века. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.Лаплас, Ж.Лагранж, Г.Монж, А.Лежандр, К.Гаусс, позднее О.Кошл, М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлера, а деятели чебышевской школы видели в Эйлере своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.