Линейная производственная задача

 

Fk(x) = max {fk(xk) + Fk-1(x-xk)}

         0 £ X £ x

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F1(x)=f1(x).

 

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций fj(xj) приведены в табл. 1.

 

Прежде всего заполняем табл.3. Значения f2(x2) складываем со значениями F1(x-x2)=f1(x-x2) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Заполняем табл .3.

 

Продолжая процесс, табулируем функции F3(x), x3(x) и т.д. В табл.6 заполняем только одну диагональ для значения x=700.

 

 

 

Таблица 1.

Xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	3	5	7	8	9	10	10
f2(xj)	0	5	8	10	12	13	14	15
f3(xj)	0	8	13	17	20	23	25	27
f4(xj)	0	6	10	13	15	16	16	16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.

х2	x-х2	0	100	200	300	400	500	600	700
	F1(x-x2) f2(x2)	0	3	5	7	8	9	10	10
0	0	0	3	5	7	8	9	10	10
100	5	5*	8*	10	12	13	14	15	---
200	8	8*	11*	13*	15*	16	17	---	---
300	10	10	13*	15*	17*	18	---	---	---
400	12	12	15*	17*	19*	---	---	---	---
500	13	13	16	19*	---	---	---	---	---
600	14	14	17	---	---	---	---	---	---
700	15	15	---	---	---	---	---	---	---

 

 

 

 

Таблица 3.

x	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(x)	0	5	8	11	13	15	17	19
x2(x)	0	100	200	200	300	400	400	400

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.

x3	x-х3	0	100	200	300	400	500	600	700
	F2(x-x3) f3(x3)	0	5	8	11	13	15	17	19
0	0	0	5	8	11	13	15	17	19
100	8	8*	13*	16	19	21	23	25	---
200	13	13*	18*	21	24	26	28	---	---
300	17	17	22*	25*	28*	30	---	---	---
400	20	20	25*	28*	31*	---	---	---	---
500	23	23	28*	31*	---	---	---	---	---
600	25	25	30	---	---	---	---	---	---
700	27	27	---	---	---	---	---	---	---

 

Таблица 5.

x	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(x)	0	8	13	18	22	25	28	31
x3(x)	0	100	200	200	300	400	500	500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6.

x4	x-х4	0	100	200	300	400	500	600	700
	F4(x-x4) f4(x4)	0	8	13	18	22	25	28	31
0	0								31
100	6							34	---
200	10						35*	---	---
300	13					35*	---	---	---
400	15				33	---	---	---	---
500	16			29	---	---	---	---	---
600	16		24	---	---	---	---	---	---
700	16	16	---	---	---	---	---	---	---

 

 

Наибольшее число диагонали в табл.6 :

Zmax = 35 тыс. рублей

Четвертому предприятию должно быть выделено:

х*4 = 4 (700) = 300 тыс. руб.

 

На долю остальных трех предприятий остается 400 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x*3 = 3 (700-x*4) = 3 (400) = 300 тыс. руб.

 

Продолжая обратный процесс, находим

  x*2 = 2 (700 - x*4 - x*3) = 2 (100) = 100 тыс. руб.

 

На долю первого предприятия остается

x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 0 тыс. руб.

 

Оптимальная программа:  1)  Х1*=0;       Х2*=100;

                                                   Х3*=300;       Х4*=300

         Zmax(X1*;... X4*)=0+5+17+13=35                  

так как  выполнилось равенство, эта программа оптимальна.             

 

Оптимальная производственная программа имеет вид:

Х1* = 0;     Х2* = 100;   Х3* = 300;  Х4* = 300 , при этом максимальная прибыль составляет 35 тыс. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Анализ доходности и риска финансовых операций

 

 

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина . Средний ожидаемый доход – это математическое ожидание с.в. : , где есть вероятность получить доход . А среднее квадратическое отклонение (СКО) – это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначать . Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в. .

 

Рассмотрим четыре операции . Найдем средние ожидаемые доходы и риски операций.

 

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1:	2	6	12	20
	1/4	1/4	1/4	1/4

 

2*1/4 + 6*1/4 + 12*1/4 + 20*1/4 =

= 0.5 + 1.5 + 3 + 5 = 10 = 3.16

Q1 = 10  r1 = 3,16

 

 

 

Q2:	0	4	5	20
	1/2	1/4	1/5	1/20

 

0*1/2 + 4*1/4 + 5*1/5 + 20*1/20 =     = 1 + 1+ 1 = 3 = 1.73

Q2 = 3  r2 = 1,73

Q3:	2	6	8	22
	1/2	1/4	1/5	1/20

 

2*1/2 + 6*1/4 + 8*1/5 + 22*1/20 =    

= 1 + 1.5 + 1.6 + 1.1= 5.2 = 2.28                  

Q3 = 5.2  r3 = 2,28

 

Q4:	0	4	8	32
	1/2	1/4	1/8	1/8

 

0*1/2 + 4*1/4 + 8*1/8 + 32*1/8 =

= 0 + 1 + 1 + 4 = 5 = 2.23

Q4 = 5  r4 = 2,23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость – риски откладываем по вертикали, а доходность по горизонтали:

 

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более она рисковая операция, чем точка правее – тем более она доходная. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , если и и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по  Парето.

 

Для большей достоверности можно применить подходящую взвешивающую формулу. Например, пусть взвешивающая формула есть прежняя . Тогда получаем: f(Q1) = 10; f(Q2) = 3; f(Q3) = 5,2; f(Q4) = 5. Видно, что 1-я операция – лучшая, а 2-я – худшая.

 

 

 

5. Содержание.

 

1. Линейная  производственная задача .

2. Задача оптимального пополнения недостающих ресурсов.

 

3. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.
4. Анализ доходности и риска финансовых операций.
5. Содержание.
6. Список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Список используемой литературы.

 

1. Учебная программа и методические указания к курсовому проектированию
2. Учебное пособие «Прикладная математика» . И.С. Карандаев, В.И.Малыхин, В.И. Соловьев. Москва « ИНФРА-М» 2002Г.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике, М., ЮНИТИ,2000
4. Элементы прикладной математики. Зельдович Б., Мышкинс А.Д 2007 год.