и решили перевести  свободную переменную х₁  в число базисных, для чего, согласно (20) определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а₁₁=1/2

     Решаем  полученную задачу симплексным методом (методом направленного перебора базисных допустимых решений):

Оптимальная производственная программа: x₁=22 x₂=0 x₃=14 x₁=0

Остатки ресурсов: первого вида -  второго вида -   третьего вида - 

Узкими  местами производства, т.е. ресурсами, использующимися полностью, являются 1-й и 2-й ресурсы, и соответственно.

  Среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

      z = 1290 - 7х₂ - 9х₄ - 6х₅ - 9х₆     (29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все x_j³0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда x₂=0, x₄=0, x₅=0, x₆=0     (30)

  Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль z_max = 1290      (31)

  Итак, организовав направленный перебор  базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль. Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент D₂=7 при переменной х₂ показывает, что если произвести одну единицу продукции второго вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.

  Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х₂=0, х₄=0. Предположим, что вторую и четвертую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

  

     Из  графика видно, что результаты совпадают.

     Обращенный  базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней  симплексной таблице:

     Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить  отношение Н = Q^-1 * В:

 

2. Двойственная задача

  Некое предприятие, использующее те же ресурсы  что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти  ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y₁, y₂ и y₃ соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие. Из условий предыдущей задачи нам известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции, количество ресурсов на производстве и прибыль от единицы каждой продукции:

                                        

  Так как продажа ресурсов должна быть целесообразной, то прибыль от продажи единицы каждого вида продукции должна быть меньше, чем прибыль от продажи ресурсов в количестве равном затрате этих ресурсов для производства единицы продукции каждого вида.

  Для производства продукции 1-ого вида требуется 3 единицы 1-ого ресурса, 4 единицы 2-ого ресурса и 4 единицы 3-его ресурса, что соответствует элементам 1-ого столбца матрицы А. Прибыль от продажи продукции 1-ого вида равна 30. Следовательно, для целесообразности продажи ресурсов прибыль от продажи 3 единиц 1-ого ресурса, 4 единиц 2-ого ресурса и 4 единиц 3-его ресурса должна быть больше, либо равна 30, т.е. прибыли от продажи продукции 1-ого вида:

  Соответственные условия должны выполняться и  для продукции других видов. Им соответствуют 2-ой, 3-ий и 4-ый столбцы матрицы А, а также 2-ой, 3-ий и 4-ый элементы матрицы-строки прибыли С:

  Но  при продаже требуется учитывать  и интересы покупателя. Естественным желанием покупателя является снижение расходов. Так как предприятие  желает закупить весь объём имеющихся ресурсов, то его затраты при ценах y₁, y₂ и y₃ составят , где коэффициенты при y₁, y₂ и y₃ - количество имеющихся ресурсов. Таким образом:

→ min

Кроме того, так как цены не могут быть отрицательными, то .

   Решение полученной задачи легко найти  с помощью второй основной теоремы  двойственности, согласно которой для  оптимальных решений х(х₁,х₂,х₃) и у(у₁,у₂,у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

x ₁ (3y₁ + 4y₂ + 4y₃ - 30) = 0  y₁ (3x₁ + 2x₂ + 6x₃          - 150) = 0

x ₂ (2y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 11) = 0  y₂ (4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 5x₄ - 130) = 0

x ₃ (6y₁ + 3y₂  + 2y₃  - 45) = 0  y₃ (4x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 4x₄ - 124) = 0         .

x ₄ (     + 5y₂ + 4y₃  - 6) = 0  

  Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной  задачи х₁>0 и х₃>0. Поэтому

3y₁ + 4y₂ + 4y₃ - 30 = 0

6y₁ + 3y₂  + 2y₃  - 45 = 0

     Учитывая, что 3-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка , получим систему:

3y₁ + 4y₂ - 30 = 0

6y₁ + 3y₂ - 45 = 0          откуда следует у₁ = 6, у₂ = 3.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у₁ = 6, у₂ = 3, у₃ = 0,

причем  общая оценка всех ресурсов равна f_min = 900+390=1290

Заметим, что это решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи.

  Данные  значения y₁, y₂ и y₃ являются двойственными оценками соответствующих ресурсов, т.е. оценка единицы 1-ого ресурса равна 6, оценка единицы 2-ого ресурса равна 3, а оценка 3-его ресурса равна 0. Эти оценки являются «теневыми» ценами ресурсов. Экономически они указывают, на сколько увеличится прибыль при выполнении оптимальной производственной программы, если количество соответствующего ресурса увеличить на единицу, при неизменном количестве остальных ресурсов.

 

  Задача о «расшивке узких мест  производства»

  При выполнении оптимальной производственной программ второй и второй  ресурсы  используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. Пусть T = (t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

  Итак, необходимо составить план “расшивки  узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого  из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный  прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

  Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

  H + Q^-1T ³ 0

  Задача  состоит в том, чтобы найти  вектор Т(t₁; t_2; 0), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 6t₁ + 3t₂ при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы).

  Обращённый  базис Q, соответствующий оптимальной  производственной программе, содержатся в последней симплексной таблице в первой, второй, третьей строках восьмого, девятого и десятого столбцов:

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

предполагая, что дополнительно  можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть

                

причём по смыслу задачи t₁  ³ 0, t₂ ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

1. -4/5* t₁+1/5 t₂=14

t₁=0 t₂=70

t₁=-35/2 t₂=0

2) 1/5*t₁- 2/5*t₂=22

t₁=0 t₂=-55

t₁=110 t₂=0

3) -4/5* t₁+6/5 t₂=8

t₁=0 t₂=20/3

t₁=-10 t₂=0

M (50; 160/9)

Программа «расшивки» имеет вид t₁=50 t₂=160/9 t₃=0, и прирост прибыли составит 1060/3

Сводка  результатов: