Линейное пространство матриц. Элементы матричной алгебры

. 

 

Лекция 1-4. 

 Линейное пространство  матриц. Элементы матричной алгебры.

1. Основные сведения  о матрицах. Операции над матрицами.

2.Определители квадратных  матриц 2-го и 3-го порядков, алгоритмы  их вычислений.

3.Понятие обратной матрицы,  алгоритм ее нахождения.

4. Развернутая и матричная  запись системы линейных алгебраических  уравнений (СЛАУ).

5. Решение системы линейных  алгебраических уравнений с тремя  неизвестными методом Крамера  и методом обратной матрицы, методом Гаусса

6. Линейные операторы  и матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов (матриц), алгоритм их нахождения.

7. Квадратичные формы.

Лекционный материал.

1. Основные  сведения о матрицах. Операции  над матрицами.

                           

Определение 1.  Матрицей  А = (а_ij)_m,n  называют прямоугольную таблицу чисел (коэффициентов), содержащую m строк и n столбцов:

                          А =

Числа а_ij, i=1..m; j=1..n, составляющие данную матрицу называются её элементами; i – номер строки матрицы, j – номер столбца; i и j – индексы элемента матрицы.

Если m = n, то матрица называется   квадратной порядка n,   и пишут (n n).  

Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной диагонали. Элементы матрицы, имеющие одинаковые пары индексы, т.е. i = j, образуют главную диагональ. Таким образом, главная диагональ начинается в верхнем левом углу матрицы и заканчивается в правом нижнем углу (а₁₁ а₂₂ а₃₃….а_nn ).  Побочная диагональ начинается в левом нижнем углу матрицы и заканчивается в правом верхнем углу (а_n1  a_{n-1 2}  a_{n-2 3}…a_1n)

Матрица, состоящая из одной строки, называется  вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, называется вектором-столбцом.

 

Операции над матрицами.

 Две матрицы А = (a_ij)_m,n    и  В = (b_ij)_m,n    равны, т.е. А = В, если они равноразмерные и если a_ij =  b_ij для всех   i = 1..m; j = 1..n.

Сумма двух матриц А = (a_ij)_m,n    и  В = (b_ij)_m,n , обозначаемая как матрица С А+В, вводится аксиоматически, с требованием выполнения следующих аксиом:

1. А + В = В +А (коммутативность)
2. А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность)
3. Для  нулевой матрица – О (О – нулевая матрица, элементы которой все равны нулю): А+О = А.
4. Для каждой матрицы существует противоположная матрица, обозначаемая  - А = (-1 А), такая, что А + (-А) = О.

Этим аксиомам удовлетворяет операция сложения матриц, в соответствии с которой

 элементы матрицы С с_ij равны сумме соответствующих элементов a_ij и b_ij, т.е. с_ij = a_ij  + b_ij.

Для матриц  вводится также операция   произведения матрицы А = (a_ij)_m,n на число α , обозначаемое как α А и представляющее собой матрицу В = αА, элементы которой b_ij = α a_ij , для всех   i = 1..m; j = 1..n.

Произведением матрицы А на число (так оно введено) удовлетворяет следующими аксиомам:

1. α А =  А α (коммутативность)
2. 1^. А = А
3. 0^. А = О (так образуется нуль-матрица)
4. α(β^.А) = (α β)^.А (ассоциативность относительно чисел)
5. (α +β)^.А = α А+βА (дистрибутивность относительно чисел)
6. α (А+В) = α А+ α В (дистрибутивность относительно матриц)

Таким образом, множество матриц с введенными операциями сложения и умножения на число образуют линейное пространство.

Если матрицы А и В одинаковой размерности, то их разность равна:

                                     А – В = А + (- В)

Произведение матрицы А порядка m k  на матрицу В порядка k n  вводится также аксиоматически,  с требованием выполнения  следующих аксиом:

1. А(ВС) = (АВ)С
2. α (АВ) = (αА)В
3. (А+В)С=АС+ВС
4. С(А+В)=СА+СВ

Этим аксиомам  удовлетворяет  матрица  порядка m n, обозначаемая АВ = С, элементы которой c_ij равны:

      c_{ij  =} = а_i1b_1j + a_i2b_2j+a_i3b_3j + …+a_ikb_kj

Отсюда  следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент c_ij, стоящий на пересечении i –ой строки и j – ого столбца матрицы C, необходимо все элементы i –ой строки матрицы А попарно перемножить на соответствующие элементы j – ого столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Примечание.  Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА. Если  АВ = ВА, то такие матрицы A и В называются коммутативными.

Пример1. Умножение матриц

 

 

Пример 2. Некоммутативности  произведения матриц.        

 

                           А =              В = 

 

  АВ =

  ВА =

 

 

                                 АВ  ВА

 

Определение 2. Матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю называется единичной матрицей  и обозначается Е. Единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причём АЕ = ЕА = А.

Определение 3.   Транспонирование матрицы – это такая операция над матрицей , при которой строки заменяются соответствующими столбцами (или наоборот – столбцы заменяются соответствующими строками). Транспонированная матрица обозначается символом А^Т.

Операция транспонирования матриц (так она определяется) удовлетворяет  следующим  аксиомам:

1. (А^Т) ^Т = А
2. (А+В) ^Т = А^Т + В^Т
3. (АВ) ^Т = В^ТА^Т

Пример 3. Построение транспонированной матрицы.

 

 

                 А =             А^Т = 

 

Определение 3.   Матрица  А = (a_ij)_m,n называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной.

 

Для каждой  квадратной матрицы  в общем случае  определены четыре основных характеристики:

1. определитель матрицы;
2. обратная матрица (существует или не существует);
3. собственные значения матрицы;
4. собственные векторы матрицы

2.Определители  квадратных матриц 2-го и 3-го  порядков, алгоритмы их вычислений.

 

Определителем  n – ого порядка , соответствующим матрице А:

 

 

                             А =

 

называется число, равное алгебраической сумме n! (n –факториал, равный произведению n натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. 1·2·3·4····n) членов, каждый из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – в противоположном случае.

                             = =

 

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки α ₁α ₂ α _{3 ….} α _n из чисел 1,2,….n. Буквой I  обозначено число инверсий в перестановке α ₁α ₂ α _{3 ….} α _n. Под инверсией (беспорядком) в перестановке понимают наличие пар чисел, в которых большее число предшествует меньшему. Четность и нечетность перестановок определяется четным или нечетным числом инверсий в перестановке. Практически число инверсий удобно определять количеством единичных шагов (переставляя только одну пару цифр), которое надо сделать, чтобы совместить неупорядоченную  перестановку с упорядоченной. Так, например, перестановка (3 5 4 2 1)  по отношению к упорядоченной перестановке (1 2 3 4 5 ) содержит I = 8 инверсий. В самом деле,

Упорядоченная перестановка есть ( 1 2 3 4 5). Заданная перестановка

                                                            (3 5 4 2 1 )

  1-ый шаг    (3 5 4 1 2 ),   2-ой шаг    (3 5 1 4 2 ),   3-ий шаг    (3 1 5 4 2 )

  5-ый шаг    (1 3 5 2 4 ),  6-ой шаг     (1 3 2 5 4 ),   7-ой шаг     (1 2 3 5 4 )

   8-ой шаг    (1 2 3 4 5 ) 

 

Процедура вычисления определителей алгоритмизирована, т.е. любой определитель конечного порядка может быть найден за конечное число шагов вычислений. Вычисление определителей n-ого порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

               Δ(А) = = а_i1A_i1 + a_i2A_i2 + a_i3A_i3 + ….+ a_inA_in

Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij равно: А_ij = (-1)^i+j M_ij , где М_ij – минор элемента а_ij. Минором М_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1) порядка (отсюда и название «минор», т.к. понижается порядок определителя), полученной из матрицы А вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, минором элемента а₂₂  матрицы А третьего порядка будет:

    М₁₃ =   =  =  а₁₁а₃₃ – а₁₃а₃₁

Каждая матрица n-го порядка имеет n²  миноров (n-1) порядка. Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца ( i + j ) – четное число, и отличается  от минора знаком, когда ( i + j ) – нечетное число. Например, А₂₃ =(-1)²⁺³М₂₃ = - М₂₃,  А₁₃ = (-1)¹⁺³М₁₃ = М₁₃.

Пример 4.  Нахождение алгебраических дополнений всех элементов матрицы А:

 

                                           А =

 

 А₁₁= (-1)¹⁺¹  = -3;  А₁₂= (-1)¹⁺³ = 6;     А₁₃=(-1)¹⁺³ = - 3       

 

  А₂₁=(-1)²⁺¹  = 15; А₂₂= (-1)²⁺² = -12;  А₂₃=(-1)²⁺³ =  -1

 

   А₃₁=(-1)³⁺¹ = -9;   А₃₂=(-1)³⁺² = 6;      А₃₃=(-1)³⁺³ = 1

 

Воспользуемся теоремой Лапласа для  вычисления определителя матрицы  А:

 

 

= 1 (-3) + 1 6 + 3 (-3) = - 6  или

= 4 15 + 5 (-12) + 6 (-1) = - 6 или

= 7 (-9) + 8 6 + 9 1 = - 6.

 

 

 

В практических расчетах используют определенную схему вычисления определителей  второго и третьего порядка.

Определитель второго  порядка вычисляется по схеме:

                  

                 Произведение элементов боковой  диагонали со знаком минус 

= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁

                  Произведение элементов главной  диагонали со знаком плюс 

Определитель третьего порядка вычисляется 2-я способами:

Способ 1.

Сначала вычисляются со знаком плюс произведения элементов на главной диагонали и 2-х малых, параллельных главной, добирая третий элемент в противоположных углах (см. рис. 1).

                        =  а₁₁а₂₂а₃₃ + а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁                                            

                               рис. 1.

Затем вычисляются со знаком минус произведения элементов на боковой диагонали и 2-х малых, параллельных боковой, добирая третий элемент в противоположных углах (см. рис. 2 ).

                             =  - а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₂а₁₁

                                  рис. 2. 

Определитель матрицы А равен:

= а₁₁а₂₂а₃₃ + а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ - а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₂а₁₁

Способ 2  

Выписывается расширенная матрица, соответствующая матрице А (повторяется  первый и второй столбец), затем проводятся вычисления по приведённой схеме

                                                   

                                                    - а₁₃ а₂₂ а₃₁ - а₁₁ а₂₃ а₃₂ - а₁₂ а₂₁ а₃₃     

                                                   + а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂  

 

3.Понятие обратной матрицы, алгоритм ее нахождения.

 

Квадратная матрица  А^-1 называется обратной  к матрице А, если она удовлетворяет соотношению:                               

                                    А^-1А = АА^-1 = Е

Квадратная матрица порядка n называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной (вырожденной).