Линейные операции над матрицами

Mатрица

План

1. Mатрица

2. Линейные операции над матрицами

3. Умножение матриц

4. Свойства умножения матриц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Прямоугольная  таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения  матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в  общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица

В сокращенной записи: А=(а_ij); где а_ij - действительные числа, i=1,2,…m;

j=1,2,…,n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка  n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

 Упорядоченный набор элементов  а₁₁,а₂₂,…,а_nn называется главной диагональю, в свою очередь, а_1n,а_2,n-1,…,а_n1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:         

называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:

              

Диагональная матрица порядка  n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

          

Линейные операции над матрицами

Определение. Суммой матриц А=(а_ij) и B=(b_ij) одинаковых размеров называется матрица С=(с_ij) тех же размеров, такая что c_ij=a_ij+b_ij для всех i и j.

.

Таким образом, чтобы  сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

A + B = = C

Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица         lА=(l а_ij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

 

Например, если и l=5,   то

 

Разность матриц А  и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А,В,С – матрицы одинакового  размера; a,b - действительные числа.

А+В = В+А – коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность  сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы А существует противоположная  –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.

a(bА) = (ab)А = (aА)b.          6. (a+b)А = aА+bА.

            7.   a(А+В) = aА+aВ.         8.  1* А = А.          9.   0 * А = 0.

Умножение матриц

В матричной алгебре  важную роль играет операция умножения  матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы  А=(а_ij)  размера и прямоугольной матрицы B=(b_ij)  размера называется прямоугольная матрица С=(с_ij) размера , такая что c_ij=a_i1+b_1j+ a_i2+b_2j+…+ a_ik+b_kj; , .

Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.

  .

Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно  числу строк матрицы В. Это  условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения  квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

1.  , .

    

    

                                         

2.  , .

    

    

                                         

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения  матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.

3. , .

Для этих матриц произведение как  АВ ,так и ВА не существует.

, 

     

 

Получим , ВА – не существует.

Свойства умножения  матриц.

Пусть А,В,С – матрицы  соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.

(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.

А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.

l(АВ) = (lА)В = А(lВ).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная  матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(а_ij), B=(b_ij), C=(c_ij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число

а_i1(b_1j+c_1j)+ а_i2(b_2j+c_2j)+…+а_in(b_nj+c_nj) =

(а_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj)+ (а_i1c_1j+a_i2c_2j+…+a_inc_nj).

Первая сумма в правой части  равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте  свойство ассоциативности 1 для матриц:

, , .

Упражнение 2. Проверьте  свойство дистрибутивности 2 для матриц:

, , .

Упражнение 3. Найти матрицу  А³, если .

Вырожденные и  невырожденные матрицы

Определение. Матрица  называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

                , = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда  и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть  АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть  в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема  справедлива для любого числа  множителей.

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

АВ = ВА = Е.          (1)

Пример. , .

             

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если  для  данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для  матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

                                                     АХ = ХА = Е        (2)

АУ = УА = Е       (3)

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим  У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности  умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.      Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое  и достаточное условие существования  обратной матрицы).

Обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е.                        А А^-1 = А^-1 А = Е. Тогда, ½А А^-1½= ½А½ ½А^-1½=½Е½=1, т.е. ½А½ 0 и ½А^-1½ 0;       А – невырожденная.

Достаточность. Пусть  дана невырожденная матрица порядка n

,

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

,

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А^*, для .

Найдем произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а _i2А _2j + … + а _inА_nj; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА^*

Аналогично доказывается, что произведение А на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

.

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;

А = = -3; А = = 3; А = = -4;

А = = 1; А = = -1; А = = 1;

А =

Список литературы

1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.
2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.
3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.
4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 84.
6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.
7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.
8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.
9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/