Лобачевский Николай Иванович- великий русский математик

 

  В 1871 Ф. Клейн  указал ту модель как всей  плоскости, так и пространства  Лобачевского, которая была описана  выше и в которой плоскостью  служит внутренность круга, а  пространством — внутренность  шара. Между прочим, в этой модели расстояние между точкам (рис. 1) определяется как ; угол — ещё сложнее.

 

  Позже А. Пуанкаре  в связи с задачами теории  функций комплексного переменного  дал другую модель. За плоскость  Лобачевского принимается внутренность  круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Л. г. в пространстве.

 

  Коротко модели  Клейна и Пуанкаре можно определить  так. В обоих случаях плоскостью  Лобачевского может служить внутренность  круга (пространством — внутренность шара), и геометрия Лобачевского есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре — при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные — те, которые сохраняют углы).

 

  Возможно чисто  аналитическое определение модели геометрии Лобачевского. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения — формулами, сопоставляющими точкам (х, у) новые точки (х', y’). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели. Другое аналитическое определение состоит в том, что Л. г. определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны (см. Римановы геометрии). Это определение было фактически дано ещё в 1854 Б. Риманом и включало модель геометрии Лобачевского как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).

 

  Содержание геометрии  Лобачевского. Лобачевский строил  свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрия Лобачевского. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

 

  1) В  геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.

 

  2) Сумма углов всякого  треугольника меньше p и может  быть сколь угодно близкой  к нулю. Это непосредственно видно  на модели Пуанкаре. Разность p —  (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.

 

  3) Через точку О,  не лежащую на данной прямой  а, проходит бесконечно много  прямых, не пересекающих а и  находящихся с ней в одной  плоскости; среди них есть две  крайние b, b', которые и называются  параллельными прямой а в смысле  Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b') и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b' с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

 

  4) Если прямые имеют  общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

 

  5) Линия равных  расстояний от прямой не есть  прямая, а особая кривая, называемая  эквидистантой, или гиперциклом.

 

  6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

 

  7) Предел сфер бесконечно  увеличивающегося радиуса не  есть плоскость, а особая поверхность  — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

 

  8) Длина окружности  не пропорциональна радиусу, а  растет быстрее.

 

  9) Чем меньше область  в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

 

  Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

 

  Приложения геометрии  Лобачевского. Сам Лобачевский применил  свою геометрию к вычислению  определённых интегралов. В теории  функций комплексного переменного геометрии Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел» (см. Чисел теория). Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

 

  x2 + y2 + z2 = c2t2

 

  при делении на t2, т. е. для скорости света,  даёт

 

  vx2 + vy2 + vz2 = c2

 

  — уравнение сферы  в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.

 

  Замечательное приложение  геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности .Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Полн. собр. соч., т. 1—5, М. — Л., 1946—51; Избр. труды по геометрии, М. — Л., 1956.

2. Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950.

3. Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространств Лобачевского, К., 1963.

4. Васильев А. В., Лобачевский, СПБ, 1914.

5.Каган В. Ф., Лобачевский, 2 изд., М. — Л., 1948 (имеется библ.);

6. Лаптев Б. Л., Великий русский математик, «Вестник высшей школы», 1967, № 12;

7.Историко-математические исследования, в, 3, 4, 6, 11, М. — Л., 1950—58 (ряд статей);

8. Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М. — Л., 1948.

9.Лобачевский Н. И., Сочинения по геометрии, М. — Л., 1946—49 (Полн. собр. соч., т. 1—3);

 10.Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956;

11.Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956;

12.Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955;

13.Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955;

14.Каган В.Ф. Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. — Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1);

 15.Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971;

16. Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968;

17.Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969;

18. Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961