Логарифмические уравнения

xt2 + 4(x - 1)t - 16 = 0.

Дискриминант этого уравнения D = [4(x - 1)]2 + 4x·16 = 16x2 + 32x + 16 = 16(x + 1)2, а корни

   и   

Таким образом, получена совокупность уравнений

	log3(x - 1) = -4,
	log3(x - 1) = 4/x.

Из первого уравнения получим  , а второе уравнение решается аналогично предыдущему примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет. Следовательно, корнями исходного уравнения являются   иx = 4.

c) ОДЗ уравнения определяется из системы

	x2 + 1 > 0,
	x > 0,

откуда следует x Î (0;+¥). Используя свойство P3, получим равносильное уравнение

Поскольку   при x > 0, а знак равенства достигается лишь при x = 1, то левая часть уравнения   В то же время правая часть уравнения принимает максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x - x2находится в точке (1;1)). Следовательно, уравнение имеет решения только если   откуда x = 1.

d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.

e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим

f) Используя свойства P2, P3 и свойства модуля (см., например, [2]), получим

g) Находим ОДЗ уравнения

	x + 1 > 0,	Û	x > -1,			Û
	x + 1 ≠ 1,		x ≠ 0,	Û	x > 1,
	x3 - 9x + 8 > 0,		x3 - x - 8x + 8 > 0,		x ≠ 2,
	x - 1 > 0,		x > 1,		(x - 1)(x2 + x - 8) > 0,
	x - 1 ≠ 1,		x ≠ 2,

 

Û  x > 1, x ≠ 2, x2 + x - 8 > 0,

Û  x > 1, x ≠ 2,

Û

Используя свойство P5, получим (в ОДЗ)

или

logx+1(x - 1)(x2 + x-8) = logx+1(x - 1)3,

откуда следует уравнение

(x - 1)(x2 + x - 8) = (x - 1)3,

	x = 1,
	x2 + x - 8 = x2 - 2x + 1,

откуда x1 = 1, x2 = 3.

Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а   остается лишь x = 3.

h) Поскольку функция f(x) = 6x - x2 - 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует, что

log2(6x - x2 - 5) ≤ 2.

Правая часть уравнения x2 - 6x + 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 и, следовательно, 2 - это наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь в случае, если одновременно log2(6x - x2 - 5) = 2 и x2 - 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);	d)
b)	e) log2x(x2 - 5x + 6) < 1.
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) Û	x2 - x ≥ x + 8,	Û	x2 - 2x - 8 ≥ 0,	Û
	x+8 > 0,		x > -8,

 

Û		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	Û   x Î (-8;-2]È[4;+¥).
		x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используяутверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем   и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Û	x Î (3;4),	Û   x Î (3;4).
	x Î Æ,

 

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак < ).

log2x(x2 - 5x + 6) < log2x2x   Û		2x > 1,
		x2 - 5x + 6 < 2x,
		x2 - 5x + 6 > 0,
		0 < 2x < 1,
		x2 - 5x + 6 > 2x,
		2x > 0,

 

Û	x Î (1;2)È(3;6),	x Î (0;1/2)È(1;2)È(3;6).
	x Î (0;1/2)

 

Решение первой системы совокупности:

		x > 1/2,	Û		x > 1/2,	Û   x Î (1;2)È(3;6).
		x2 - 7x + 6 < 0,			1 < x < 6,
		x < 2,			x < 2,
		x > 3,			x > 3,

 

Решение второй системы совокупности:

0 < x < 1/2, x2 - 7x + 6 > 0,

Û    0 < x < 1/2, x < 1, x > 6,

Û   x Î (0;1/2).

 

Неравенства вида F(logax) > 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив 

, получим квадратное неравенство t2 + t - 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

.

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

Следовательно,

	lgx < -1,			0 < x < 1/10,
	2 < lgx < 3,	Û		100 < x < 1000,	Û   x Î (0;1/10)È(100;1000)È(105;+¥).
	lgx > 5,			x > 105,

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих вутверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощьюутверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5;+¥). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x - 2)(x - 5) < lg4.

Используя утверждение 1, получим

	(x - 2)(x - 5) < 4,
	(x - 2)(x - 5) > 0.

Решаем систему

		x2 - 7x + 6 < 0,				1 < x < 6,
		x < 2,	Û			x < 2,	Û   x Î (1;2)È(5;6)
		x > 5,				x > 5,

и, учитывая ОДЗ, получим x Î (5;6).

e) Определим ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

Используя свойство P2, получим

Обозначив log3x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

c) Определим ОДЗ неравенства

Поскольку  , неравенство равносильно следующему:

откуда следует

Обозначив   t ≥ 0, получим квадратное неравенство

(t - 1)2 > t + 11,

или

t2 - 3t - 10 > 0,

откуда t < -2 или t > 5. Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или     Û   x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x Î (5;+¥).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)È(2;+¥). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ   log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что   для любого x из ОДЗ,   при x Î (1;2)È(2;3) и   при x > 3, значит,

получим x Î (1;2)È(3;+¥).

Для укрепления навыков решения логарифмических уравнений и неравенств рекомендуем читателю, например, задачники [3-5].  
 
 
Литература

1. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.
2. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.
3. C.Cosnita, F.Turtoiu. Probleme de algebra. Editura Tehnica. Bucuresti, 1989.
4. Е.Д.Куланин и др. 3000 конкурсных задач по математике. Айрис Ролиф. Москва, 1997.
5. Ф.П.Яремчук, П.Рудченко. Алгебра и элементарные функции. Киев, Наукова Думка. 1987.