Локальная теорема Маувра - Лапласа и формула Пуассона

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА

И ФОРМУЛА ПУАССОНА

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях оно состоится т раз, при любом числе испытаний n определяется формулой Бернулли. Во всех рассмотренных примерах число испытаний было небольшим. Если же число испытаний велико, то вычисления искомых вероятностей по формуле Бернулли становятся очень громоздкими.

Например, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4, то вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, согласно формуле Бернулли можно получить формальный ответ. Но нахождение численного значения его даже с помощью таблиц логарифмов связано с серьезными трудностями. Кроме того, вычисления оказываются неточными, так как при сложении логарифмов, которые являются приближенными числами, ошибка накапливается. Поэтому, когда число испытаний велико, для нахождения вероятностей, нецелесообразно применять формулу Бернулли. Нужны формулы, по которым достаточно точные значения вероятностей находились бы при сравнительно несложных вычислениях. Поставленная задача имеет положительное решение. Такими формулами являются формулы Муавра — Лапласа и Пуассона,

Локальная   теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна:

где функция f(x) определяется равенством:

Формула называется формулой Муавра — Лапласа. С возрастанием n относительная точность значений вероятностей, получаемых по ней, возрастает. В этом и заключается содержание локальной теоремы Муавра — Лапласа.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции, а именно:

1. Функция f(х) является четной, т. е. f (-х) = f (х). Поэтому в таблице приведены значения функции лишь для положительных значений аргумента.

2. Функция f(х) — монотонно убывающая при положительных значениях х. Предел f(х) при равен нулю.

3. Если х > 5, то можно считать, что  . Функция f(х) уже при х = 5 очень мала: f(5)=0,0000015. Поэтому таблица значений функции f(х) не продолжена для значений х > 5.

Пример. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4.

Решение.  P=f(0.833)/12=0.0235.

Пример. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных будет 95 девочек.

Решение. Поскольку необходимо найти вероятность того, что будет 95 девочек, то в формулах через р должна обозначаться вероятность рождения девочки, при этом р = 1—0,515 == 0,485. При n = 200, р == 0,485 и q = 0,515 значение х, соответствующее m= 95, равно –0,283. По таблице находим, что f(0,283) = 0,3833. Поэтому окончательно имеем: P=0.3833/7.068=0.054.

Если вероятность р наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний т, но при небольшой величине произведения np, получаемые по формуле Муавра — Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле для таких случаев.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно велико, но произведение остается небольшим, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз,

Формула называется формулой Пуассона. Для упрощения расчетов, связанных с применением ее, составлена таблица значений функции Пуассона.

Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестандартных.

Решение. Здесь n = 1000, р = 0,004, а = nр = 1000 • 0,004= 4. Все три числа удовлетворяют требованиям только что доказанной теоремы, а поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона при =4 и m = 5 сразу получаем: P=0,1563.