Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2014 в 14:47, курсовая работа
Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория Марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.
Введение.
§1. Основные понятия.
§2. Виды Марковских процессов.
§3.Решение задачи.
Заключение.
Список литературы.
Пример 1. Случайное блуждание. Пусть на прямой Ox в точке с целочисленной координатой находится материальная частица. В определенные моменты времени частица испытывает толчки. Под действием толчка частица с вероятностью p смещается на единицу вправо и с вероятностью (1 – p) – на единицу влево. Ясно, что положение (координата) частицы после толчка зависит от того, где находилась частица после непосредственно предшествующего толчка, и не зависит от того, как она двигалась под действием остальных предшествующих толчков.
Таким образом, случайное блуждание − пример однородной цепи Маркова с дискретным временем.
Далее ограничимся элементами теории конечных однородных цепей Маркова.
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния i (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние j.
Таким образом, в обозначении первый индекс указывает номер предшествующего, а второй − номер последующего состояния. Например, – вероятность перехода из второго состояния в третье.
Пусть число состояний конечно и равно k.
Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния i в любое возможное состояние j), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:
Приведем пример матрицы перехода системы, которая может находиться в трех состояниях ; переход из состояния в состояние происходит по схеме однородной цепи Маркова; вероятности перехода задаются матрицей:
Здесь видим, что если система находилось в состоянии , то после изменения состояния за один шаг она с вероятностью 0,5 останется в этом же состоянии, с вероятностью 0,5 останется в этом же состоянии, с вероятностью 0,2 перейдет в состояние , то после перехода она может оказаться в состояниях ; перейти же из состояния в она не может. Последняя строка матрицы показывает нам, что из состояния перейти в любое из возможных состояний с одной и той же вероятностью 0,1.
На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний системы, его еще называют размеченный граф состояний. Это удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим на примере.
Пример 2. По заданной матрице перехода построить граф состояний.
Т.к. матрица четвертого порядка, то, соответственно, система имеет 4 возможных состояния.
S1
S2 0.4 S4
0.6 0.5
S3
На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк матрицы), а потом составить матрицу переходов системы.
2.4. Цепь Маркова.
Представим, что производится последовательность испытаний.
Определение. Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно и только одно из k несовместных событий полной группы, причем условная вероятность того, что в S-м испытании наступит событие , при условии, что в (s-1)-м испытании наступило событие , не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит из четырех несовместных событий , причем известно, что в шестом испытании появилось событие , то условная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие , не зависит от того, какие события появились в первом, втором, …, пятом испытаниях.
Заметим, что независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. Действительно, если испытания независимы, то появление некоторого определенного события в любом испытании не зависит от результатов ранее произведенных испытаний. Отсюда следует, что понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний.
Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминология и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени находится в одном из состояний: , и меняет свое состояние только в отдельные моменты времени то есть система переходит из одного состояния в другое ( например из i в j). Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние в момент зависит только от того, в каком состоянии система находилась в момент , и не изменяется от того, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты. Так же в частности, после испытания система может остаться в том же состоянии («перейти» из состояния i в состояние j = i).
Для иллюстрации рассмотрим пример.
Представим, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой ней под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами: a,a+1,a+2,…,b ; в точках a и b находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p и влево с вероятностью q=1-p, если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками. Здесь мы видим, что этот пример блуждания частицы представляет собой типичную цепь Маркова.
Таким образом, события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний.
Дадим теперь определение цепи Маркова, используя новую терминологию.
Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени.
Цепью Маркова с непрерывным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в любые случайные возможные моменты времени.
Задача.
Фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в северный округ (обозначим А), южный (В) и центральный (С). Фирма имеет группу курьеров, которая обслуживает эти районы. Понятно, что для осуществления следующей доставки курьер едет в тот район, который на данный момент ему ближе. Статистически было определено следующее:
после осуществления доставки в район А следующая доставка в 30 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 40 случаях – в С;
после осуществления доставки в район В следующая доставка в 40 случаях осуществляется в А, в 40 случаях – в В и в 20 случаях – в С;
после осуществления доставки в район С следующая доставка в 50 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 20 случаях – в С.
Таким образом, район следующей доставки определяется только предыдущей доставкой.
Матрица вероятностей перехода будет выглядеть следующим образом:
Например, = 0,4 – это вероятность того, что после доставки в район В следующая доставка будет производиться в районе А.
Допустим, что каждая доставка с последующим перемещением в следующий район занимает 15 минут. Тогда, в соответствии со статистическими данными, через 15 минут 30% из курьеров, находившихся в районе А, будут в А, 30% будут в В и 40% – в С. Так как в следующий момент времени каждый из курьеров обязательно будет в одном из округов, то сумма по столбцам равна 1. И поскольку мы имеем дело с вероятностями, то каждый элемент матрицы будет 0 < < 1. Наиболее важным обстоятельством, которое позволяет интерпретировать данную модель как цепь Маркова, является то, что местонахождение курьера в момент времени (t + 1) зависит только от местонахождения в момент времени t.
Теперь зададим простой вопрос: если курьер стартует из С, какова вероятность того, что осуществив две доставки, он будет в В, т.е. как можно достичь района В в 2 шага? Итак, существует несколько путей из С в В за 2 шага:
1) сначала из С в С и потом из С в В;
2) С® В и В ® В;
3) С ® А и А ® В.
Учитывая правило умножения независимых событий, получим, что искомая вероятность равна:
Р = Р(СА) × Р(АВ) + Р(СВ) × Р(ВВ) + Р(СС) × Р(СВ).
Подставляя числовые значения:
Р = 0,5 × 0,3 + 0,3 × 0,4 + 0,2 × 0,3 = 0,33.
Полученный результат говорит о том, что если курьер начал работу из С, то в 33 случаях из 100 он будет в В через две доставки.
Ясно, что вычисления просты, но если Вам необходимо определить вероятность через 5 или 15 доставок – это может занять довольно много времени.
Покажем более простой способ вычисления подобных вероятностей. Для того, чтобы получить вероятности перехода из различных состояний за 2 шага, возведем матрицу Р в квадрат:
Тогда элемент (2, 3) – это вероятность перехода из С в В за 2 шага, которая была получена выше другим способом. Заметим, что элементы в матрице Р2 также находятся в пределах от 0 до 1, и сумма по столбцам равна 1.
Т.о. если Вам необходимо определить вероятности перехода из С в В за 3 шага:
1 способ.
р(СА) × Р(АВ) + р(СВ) × Р(ВВ) + р(СС) × Р(СВ) =
= 0,37 × 0,3 + 0,33 × 0,4 + 0,3 × 0,3 = 0,333,
где р(СА) – вероятность перехода из С в А за 2 шага (т.е. это элемент (1, 3) матрицы Р2).
2 способ. Вычислить матрицу Р3:
Матрица переходных вероятностей в 7 степени будет выглядеть следующим образом:
Легко заметить, что элементы каждой строки стремятся к некоторым числам. Это говорит о том, что после достаточно большого количества доставок уже не имеет значение в каком округе курьер начал работу. Таким образом, в конце недели приблизительно 38,9% будут в А, 33,3% будут в В и 27,8% будут в С. Подобная сходимость гарантировано имеет место, если все элементы матрицы переходных вероятностей принадлежат интервалу (0, 1).
Список литературы: