Математическая модель Хищник-жертва

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики и

методики  преподавания математики

Специальность «Математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

по теме: Метод Случайных блужданий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент

3 курса гр. “Б”

Гончаров  С.С.

Научный руководитель:

В.И. Хаджинов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Донецк 2011

 

Содержание

 

I. Введение…………………………………………………………3

II. Основная часть…………………………………………………5

1. Задача  «Случай в кассе»…………………..…………….5

2. Задача  «На краю утеса»…………………………………7

3. Задача  «Разорение игрока»…………………………….11

4. Теория…………………………………………………...14

III. Выводы………………………………………………………..16

IV. Список использованной литературы……………………….17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Введение

В курсовой работе исследован метод случайных  блужданий в на плоскости и возможности применения данного метода при решении задач взятых в буквальном смысле из повседневной жизни.

Актуальность  темы

Схема случайных блужданий оказывается  очень удобной для наглядного объяснения общих закономерностей  поведения сумм случайных величин. Случайные блуждания возникают  как в теоретических задачах, так и в приложениях теории вероятностей, таких, например, как  последовательный статистический анализ или теория массового обслуживания.

Метод случайных  блужданий позволяет решить задачу которая выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки —х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. В результате исследований, проведенных в данной курсовой работе стало видно, насколько метод «случайных блужданий» тесно связан с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Цели  и задачи исследования

Целью данной курсовой работы является исследование метода случайных блужданий и  применение его при решении необходимых  задач, таких как описание движения атомов в газе – так называемое броуновское движение.

 

 

Практическое  значение полученных результатов.

Полученные  в курсовой работе результаты могут  быть использованы в Институте прикладной математики и механики НАН Украины (г. Донецк), в Донецком Национальном Университете, в Институтах математики и механики НАН Украины (г. Киев).

Личный  вклад.

Данная курсовая работа является работой реферативного  направления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Основная часть

1. Задача «случай в кассе»

Постановка задачи

Возле кассы  кинотеатра собралось m+n человек, причем n из них имеют монеты стоимостью в 50 коп., а остальные m имеют только по одному рублю (). Стоимость билета 50 коп. Какова вероятность того, что ни одному покупателю не придется ожидать сдачи, если в начале работы: а) в кассе не было денег; б) в кассе есть p монет стоимостью в 50 коп.?

 

Решение задачи:

Предположим, что покупатели стоят определенным образом в очереди.

Пусть ε_i равно единице, если i-й покупатель имеет 50 коп. и ε_i =-1, если i-й покупатель имеет рубль. Рассмотрим сумму S_k = ε₁+…+ ε_k, которая является разностью между количеством монет по 50 коп. и количеством рублей, которые даны в кассу первыми k покупателями.

Возьмем систему  координат XOY, построим в ней точки A_k =(k,S_k), (k=1,2,…, m+n) и рассмотрим ломаную, которая соединяет точку О с точкой А_п+т = (m+n, п—т) и проходит через точки A1, A₂, …,A_m+n+1 .

Будем называть ломаную траекторией, которая соответствует данному способу размещения покупателей в очереди. Каждая траектория состоит из т+п отрезков, п из которых поднимаются вверх, а т опускаются вниз. Если указать номера тех отрезков, которые поднимаются вверх, то тем самым траектория будет определена (число способов размещения покупателей в очереди) равно .

Траектории, которые соответствуют тем способам размещения покупателей, при которых  ни один из покупателей не ожидает  сдачи, не пересекает прямую у = —1. Для того, чтобы подсчитать число таких траекторий, поставим в соответствие каждой траектории T которая пересекается или касается прямой у = —1, новую траекторию Т' по такому правилу: до первой точки касания с прямой у = —1 траектория Т' совпадает с T, а дальше T' есть симметрический образ траектории Т относительно прямой у = —1. (на рисунке траектория Т' обозначена пунктирной линией).

Все траектории Т' заканчиваются в точке , которая есть симметрический образ точки A_m+n относительно прямой у = —1. Установленное соответствие является взаимно однозначным. Поэтому искомое число траекторий равно числу ломаных, которые соединяют 0 с А_т+п Это число легко подсчитать; если такая ломаная состоит из у отрезков, которые идут вниз, и х отрезков, которые идут вверх, то х+у m+n; y-x=n+2-m, откуда у = п + 1. Число траекторий из 0 в равно . Число траекторий, которые не пересекают прямую у = —1, равно . Таким образом, вероятность того, что ни одному из покупателей не придется дожидаться сдачи, равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача «На краю утеса»

Постановка  задачи

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

 

Решение задачи

Перед решением задачи полезно задуматься о возможном  ответе. Посмотрим, что может случиться  на нескольких первых шагах. Схема на рисунке 1 иллюстрирует тот факт, что человек может упасть вниз только через нечетное число шагов. После одного шага вероятность упасть вниз равна 1/3 (рис. 1). Путь 1 → 2 → 1 → 0 добавляет еще 2/27 к вероятности падения, давая общую вероятность несчастья 11/27. После пяти шагов пути 1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0 и 1 → 2 → 3 → 2 → 1 → 0 вместе добавляют 8/243 к вероятности падения, давая общий результат 107/243. Этот список можно продолжить, но мы обратимся теперь к иному подходу.

               рисунок 1

 

Настоящая задача о блуждании весьма популярна и имеет много формулировок. Далее мы будем трактовать ее как задачу о частице, движущейся по оси.

 

Рассмотрим  частицу, которая сначала находится  в положении x = 1 на оси. Структура  задачи будет яснее, если вероятность  шага направо вместо 2/3 будет равна p. Частица движется из положения 1 либо в точку x = 2 с вероятностью p, либо в точку x = 0 с вероятностью 1 - p (рис. 2). Вообще, если частица находится  в положении x = n, n > 0, n - целое число, то она сдвигается либо в точку x = n + 1 с вероятностью p, либо в точку x = n - 1 с вероятностью 1 - p. Если частица  попадает в положение x = 0, то там  она поглощается (не делает других шагов). Нас интересует значение вероятности P₁ того, что частица поглощается в точке x = 0, если она выходит из точки x = 1. Разумеется, значение P₁ зависит от p. Кажется естественным, что если p близко к 1, то вероятность P₁ мала, а если p близко к нулю, то P₁ мало отличается от 1.

               рисунок 2

Рассмотрим  ситуацию после первого шага: либо частица сдвинулась налево, попала в точку x = 0 и поглотилась там (это событие имеет вероятность 1 - p), либо сдвинулась направо в точку x = 2 (это событие происходит с  вероятностью p). Пусть P₂ обозначает вероятность того, что частица поглощается в начале координат x = 0, если она выходит из точки x = 2. Тогда мы имеем

P₁ = 1 - p + p•P₂, (1)

так как 1 - p есть вероятность поглощения на первом шаге и p•P₂ - вероятность поглощения на последующих шагах.

Каждый путь, ведущий к поглощению из x = 2, можно  разбить на две части:

1. Путь, идущий из точки x = 2 и достигающий положения x = 1 в первый раз (не обязательно за один шаг)

 

2. Путь, идущий из точки x = 1 в точку x = 0 (также не обязательно за один шаг). Вероятность пути из положения x = 2 в x = 1 есть P₁ поскольку структура блуждания здесь идентична структуре первоначального блуждания (см. рис. 1), за исключением того, что начало координат переносится на один шаг направо. Вероятность попасть из точки x = 1 в x = 0 также равна P₁ как и в исходной задаче. Величина P₂ поэтому есть P₁₂, так как события A (частица идет по пути от точки x = 2 к x = 1) и B (частица движется по пути от точки x = 1 до x = 0) независимы, и P(A) = P(B) = P₁.

Мы можем переписать уравнение (1) как

P₁ = 1 - p + p•P₁₂, (2)

Уравнение (2) - квадратное относительно P₁ и имеет два решения:

P₁ = 1; P₁ = (1 - p)/p. (3)

В таких задачах  одно или оба решения могут  быть подходящими, в зависимости  от значений р.

Если p = 1/2, то оба решения совпадают, и P₁ = 1. Когда p = 1, P₁ = 0, так как частица всегда движется вправо. И когда p = 0, очевидно, P₁ = 1. При p < 1/2 второе решение (3) не подходит, так как тогда (1 - p)/p > 1, а по смыслу задачи P₁ ≤ 1. Поэтому при 0 ≤ p ≤ 1/2 мы имеем P₁ = 1.

Чтобы доказать, что второе решение P₁ = (1 - p)/p имеет место при p > 1/2, нам достаточно установить, что P₁ является непрерывной функцией от p (грубо говоря, что P₁ не слишком изменяется, когда p меняется мало). Мы предполагаем эту непрерывность, но не доказываем ее.

                           рисунок 3

Кривая (см. рис. 3) начинается в точке P₁ = 1 при p = 1/2; она должна спуститься к P = 0 при p = 1, и ее ордината всегда должна равняться 1 или (1 - p)/p. Кривая не имеет разрывов только в том случае, когда при p > 1/2 соответствующее значение равно (1 - p)/p. Итак, при предположении непрерывности функции P₁ мы получаем P₁ = (1 - p)/p при p > 1/2. Поэтому наш пьяница с вероятностью 1/2 упадет вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задача «Разорение игрока»

Постановка  задачи

У игрока M имеется 1 доллар, а у игрока N - 2 доллара. После  каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок M более  искусен, чем N, так что он выигрывает 2/3 игр. Игроки состязаются до банкротства  одного из них. Какова вероятность выигрыша для M?

 

Решение задачи

Наша задача - специальный случай общей задачи о случайном блуждании с двумя  поглощающими барьерами. Исторически  эта проблема была поставлена как  игровая, называемая задачей о разорении  игрока, и многие знаменитые математики занимались вопросами, связанными с  ней. Сформулируем задачу в общем  виде.

 

Игрок M имеет m денежных единиц, игрок N - n единиц. После  каждой игры один игрок выигрывает, другой проигрывает единицу. В каждой партии вероятность выигрыша игрока M равна p, а выигрыша N равна q = 1 - p. Игра продолжается до разорения одного из игроков. На рис. 1 указана сумма денег, которую игрок M имеет в настоящий  момент. Он начинает с положения x = m. Когда x = 0, он разорен, при x = m + n банкротом  является игрок N. 

                          рисунок 1

При такой  постановке, поскольку p > 1/2, мы можем  использовать результат задачи "На краю утеса". Мы уже знаем, что  если игрок M играет против банка с  неограниченными ресурсами, то становится банкротом с вероятностью (q/p)m. По пути к банкротству он либо получает сумму m + n (n теперь конечно) либо никогда  не будет иметь ее на руках. Пусть  вероятность того, что он проиграет игроку N, равна Q (это событие равносильно выигрышу N у банка с неограниченным капиталом без достижения игроком M суммы m + n). Тогда

(p/q)m = Q + (1 - Q)·(q/p)m+n, (1)

поскольку Q есть доля последовательностей, для  которых поглощение произойдет до достижения точки m + n, а 1 - Q - доля тех последовательностей, которые достигают положения m + n; (q/p)m+n есть доля последовательностей, поглощаемых в нуле, если игра продолжается неограниченно долго. Тогда P = 1 - Q есть вероятность того, что игрок M выиграет. Из (1) находим

P = [1 - (q/p)m] / [1 - (q/p)m+n]. (2)

В нашем случае p = 2/3, q = 1/3, m = 1, n = 2 и P = 4/7, и, значит, лучше  быть вдвое более искусным в игре, чем вдвое более богатым.

Если q = p = 1/2, то P в уравнении (2) принимает неопределенную форму 0/0. Применение правила Лопиталя дает

P = m / (m + n). (3)

Таким образом, если игроки равноискусны, то шансы на выигрыш игрока M равны 1/3, а его средний выигрыш равен 1/3•2 + 2/3•(-1) = 0. Игра в этом случае безобидна, т. е. математическое ожидание выигрыша равно нулю для каждого игрока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Теорития

 

Случайное блуждание – это случайный процесс специального вида, исторически связанный с моделью перемещения частицы под действием некоторого случайного механизма в произвольном фазовом пространстве.

 

Обычно рассматривается случайное  блуждание, порождаемое суммами  взаимно независимых одинаково  распределённых величин X₁, X₂, ..., X_n или цепями Маркова. Пусть S₀=0, S_n= X₁ + X₂ + ... + X_n, тогда последовательность координат (n, S_n), n=0, 1, 2, ..., описывает траекторию случайного блуждания. Основные черты общих случайных блужданий можно охарактеризовать на примере простейшего случайного блуждания, порождаемого схемой испытаний Бернулли. Описание случайного блуждания принято в терминах частицы, которая движется по точкам вида k (k - целое) оси x. Движение начинается в момент t = 0, и положение частицы меняется только в дискретные моменты времени 0, 1, 2, ... На каждом шаге координата частицы увеличивается или уменьшается на величину 1 с вероятностями p и q = p-1, соответственно, независимо от предшествующего движения. Обычно случайные блуждания изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось x - за ось ординат.