Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Декабря 2013 в 09:10, лекция
В настоящее время экономика характеризуются быстротой сменяемости условий экономической деятельности, что предъявляет высокие требования к принятию решений о выборе оптимальной стратегии по управлению предприятием, компанией, фирмой. В этих условиях использование серьезных методов анализа в экономических исследованиях приобретает первостепенное значение. В процессе решения экономических задач приходится формализовать зависимость между отдельными элементами экономической системы, применять математический аппарат, т.е. использовать экономико-математические методы. Результатом применения экономико-математических методов является математическая модель рассматриваемого экономического объекта или процесса.
Проверим его на
U 1 = 0. U 1 + V2 = 5 Þ V2 = 5 – 0 = 5;
U 2 + V2 = 9 Þ U 2 = 9 – 5 = 4;
U 2 + V1 = 4 Þ V 1 = 4 – 4 = 0;
U 2 + V3 = 7 Þ V3 = 7 – 4 = 3;
U 3 + V3 = 0 Þ U 3 = 0 –3 = – 3.
Зная потенциалы, по свободным клеткам проверим выполнение условия оптимальности.
D11=c11 – (U 1 + V1) = 8 – 0 = 8 >0 ;
D13=c13 – (U 1 + V3) = 6 – 3 = 3 >0 ;
D31=c31 – (U 3 + V1) = 0 +3 = 3 > 0 ;
D32=c32 – (U 3 + V2) = 0 – 2 = –2 <0.
В клетке (3;2) условие оптимальности не выполняется. Следовательно, план Х 2 не оптимален. Его можно улучшить и уменьшить транспортные расходы. Вводим в клетку (3,2) метку c . Строим новое базисное решение с помощью процедуры перепланировки, включив переменную x32 в число базисных переменных Переход к новому плану осуществим при помощи цикла. Выберем цикл (3,2) → (3;3) → (2;3) → (2;2)→ (3;2). У вершин цикла проставим знаки “ + “ и “ – “. В свободной клетке (3;2) ставим “ + “, а далее идет чередование знаков. Получим таблицу 12.
Таблица 12
Ai\Bj |
70 |
140 |
90 |
||
120 |
8
|
5 + 120 |
6
|
U1=0 | |
140 |
4 70 |
9 20 – |
7 50 + |
U2=4 | |
40 |
0 |
0 + |
0 40 – |
U3= –3 |
V1=0 V2=5 V3=3
Определим число для пересчета из чисел, соответствующих клеткам со знаком “ – “, выбрав наименьшее. В нашем случае min {40;20}=20. В клетку (3;2) запишем 20. В клетках со знаком “ + “ к числу, находящемуся в клетке прибавляем 20. А в клетках со знаком “ - “ из числа, находящегося в клетке вычитаем 20. При этом клетка (2;2) становится свободной, а (3;2) – занятой. Составим новую таблицу 13.
Таблица 13
Ai\Bj |
70 |
140 |
90 |
||
120 |
8
|
5 120 |
6
|
U1=0 | |
140 |
4 70 |
9
|
7 70 |
U2=2 | |
40 |
0 |
0 20 |
0 20 |
U3= –5 |
V1=2 V2=5 V3=5
Новый план . Транспортные расходы f(x) = 5·120 + 4·70 + 7·70 + 0·20 +0·20 = 600 + 280 + 490 + 0 + 0 =1370. Транспортные расходы уменьшились, значит, план
Х 3 лучше, чем Х 2.
Проверим его на оптимальность. По занятым клеткам вычислим потенциалы.
U 1 = 0. U 1 + V2 = 5 Þ V2 = 5 – 0 = 5;
U 3 + V2 = 0 Þ U 3 = 0 – 5 = -5;
U 3 + V3 = 0 Þ V 3 = 0 – (-5) = 0 + 5 = 5;
U 2 + V3 = 7 Þ U 2 = 7 – 5 = 2;
U 2 + V1 = 4 Þ V 1 = 4 – 2 = 2.
Зная потенциалы, по свободным клеткам проверим выполнение условия оптимальности.
D11=c11 – (U 1 + V1) = 8 – 2 = 6 >0 ;
D13=c13 – (U 1 + V3) = 6 – 5 = 1 >0;
D22=c22 – (U 2 + V2) = 9 – 7 = 2 >0 ;
D31=c31 – (U 3 + V1) = 0 – (–3) = 3 >0 .
Таким образом, условие оптимальности выполняется в каждой свободной клетке. Значит, план Х 3 оптимальный, а минимальные транспортные расходы составляют 1370.
Из таблицы 13 видно, что в строке А3 (фиктивного поставщика) находится два числа. В столбце В2 20 и в столбце В3 20. Следовательно, при уменьшении поставок груза на склад А2 на 40 холодильников необходимо сократить поставки потребителям В2 и В3 на 20 штук каждому.
Ответ: , fmin =1370. На 20 холодильников уменьшить поставки потребителям В2 и В3 со склада А2.
Пример 5. Решить Тз, исходные данные которой приведены в таблице 14, методом потенциалов.
Таблица 14.
Ai\Bj |
2 |
3 |
3 | |
5 |
4 |
2 |
2 | |
4 |
2 |
3 |
4 |
Решение. Данная модель Тз является открытой. Мы должны ввести фиктивного потребителя, чтобы Тз стала закрытой. ПБП определяем методом северо-западного угла. Для поиска оптимального решения применяем метод потенциалов.
Таблица 15.
Ai\Bj |
2 |
3 |
3 |
1 |
||
|
5 |
2 |
3 |
0 |
0 |
U1=0 |
|
4 |
2 + |
3 |
4 3 - |
0 |
U2=2 |
V1=4 V2=2 V3=2 V4=-2
Для таблицы 15 f(x)=26, но D21=2-(2+4)=-4<0. Вводим в клетку (2,1) метку c . Строим новое базисное решение с помощью процедуры перепланировки, включив переменную x21 в число базисных переменных. Результат в таблице 16.
Таблица 16.
Ai\Bj |
2 |
3 |
3 |
1 |
||
|
5 |
4 |
3 |
2 |
0 |
U1=0 |
|
4 |
2 2 |
|
1 |
0 |
U2=2 |
V1=2 V2=2 V3=2 V4=-2
Для таблицы 16 f(x)=18, но D22<0. Вводим в клетку (2,2) метку c . Строим новое базисное решение с помощью процедуры перепланировки, включив переменную x22 в число базисных переменных. Результат в таблице 17.
Таблица 17.
Ai\Bj |
2 |
3 |
3 |
1 |
||
|
5 |
4 |
2 2 |
2 3 |
0 |
U1=0 |
|
4 |
2 2 |
3 1 |
4 |
0 1 |
U2=1 |
V1=2 V2=2 V3=2 V4=-1
Для всех клеток в таблице 17 Сij-(Ui+Vj)³0, т.е. выполнен критерий оптимальности плана Тз. Значения базисных переменных в оптимальном плане: х12=2, х13=3, х21=2, х22=1, х24=1.
Транспортные расходы f(x)= 2·2 + 2·3 + 2·2 + 3·1+0·1 = 17.
Ответ: , fmin =17
7. Задания для контрольной рабоы.
Задачи для индивидуальной контрольной работы выбираются в каждом задании в соответствии с последней цифрой зачетной книжки студента или по номеру в журнале группы.
Задание 1.
Решить задачу линейного программирования графическим методом. | |||
1. |
2. |
||
3. |
4. |
5. |
6. |
||
7. |
8. |
9. |
10. |
Задание 2.
Решить задачу симплекс-методом.
Задание 3.
Решить транспортную задачу.
Составить план перевозок по доставке требуемой продукции из пункта (или ) в пункты назначения (или ), минимизирующий суммарные транспортные расходы Стоимость перевозки единицы продукции с i-го пункта в j-ый пункт распределения приведена в таблице.
1. |
Ai\Bj |
27 |
28 |
29 |
10 |
5 |
4 |
3 | |
20 |
6 |
2 |
1 | |
30 |
3 |
2 |
7 |
(¦=122)
2. |
Ai\Bj |
15 |
17 |
18 |
10 |
5 |
2 |
7 | |
20 |
1 |
6 |
3 | |
30 |
7 |
3 |
5 |
(¦=136)
3. |
Ai\Bj |
7 |
20 |
13 |
9 |
11 |
10 |
6 |
4 |
2 |
1 |
3 | |
20 |
2 |
3 |
3 |
2 |
1 | |
30 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
(¦=102)
4. |
Ai\Bj |
31 |
28 |
41 |
10 |
2 |
3 |
1 | |
20 |
3 |
5 |
4 | |
30 |
1 |
7 |
8 | |
40 |
2 |
6 |
5 |
(¦=345)
5. |
Ai\Bj |
13 |
12 |
17 |
18 |
10 |
6 |
2 |
1 |
3 | |
20 |
5 |
4 |
3 |
1 | |
30 |
2 |
1 |
3 |
1 |
(¦=87)
6. |
Ai\Bj |
11 |
15 |
21 |
8 |
10 |
7 |
2 |
1 |
5 | |
20 |
8 |
3 |
2 |
9 | |
30 |
1 |
1 |
1 |
2 |
(¦=92)
7. |
Ai\Bj |
50 |
40 |
160 |
80 |
50 |
4 |
5 |
6 |
7 | |
150 |
4 |
9 |
3 |
2 | |
60 |
6 |
5 |
2 |
3 | |
40 |
8 |
1 |
2 |
4 |