Математическое моделирование в экологии

Министерство сельского хозяйства

Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I»

 

 

Кафедра высшей математики

 

Реферат на тему:

«Математическое моделирование в экологии»

 

 

Выполнил: магистрантка 1 курса

факультета агрономии, агрохимии и экологии

Безгина А. Е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж 2014

 

СОДЕРЖАНИЕ

	ВВЕДЕНИЕ	3
1.	РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКО-ЭКОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ	6
2.	ЭТАПЫ И МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ	10
3.	ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ	12
4.	ПРИЧИНЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЧИСЛЕННОСТИ	14
5.	ОРГАНИЗАЦИЯ НА ПОПУЛЯЦИОННОМ УРОВНЕ	17
6.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИНЦИПЫ ЭКОЛОГИИ	19
	ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ	23
	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	24

 

ВВЕДЕНИЕ

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

 

 Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. РАЗВИТИЕ  МАТЕМАТИКО-ЭКОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

Экология – одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на страницах газет и журналов. Ещё в 60-х годах XX века никто, кроме узких специалистов, его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.

Математическое моделирование в экологии используется практически с момента возникновения этой науки. Первые исследования по применению математического моделирования в экологии относятся к двадцатым - тридцатым годам  XX - го столетия. Например, известное моделирование плодовитости кроликов (1228 г., итальянский математик Фибоначчи) представляет одну из первых попыток математического прогноза динамики биологических процессов.

И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой воссоздают её в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в экологии:

Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными

Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

Необходимым условием для построения содержательных математических моделей является наличие подробной естественнонаучной информации об устройстве и механизмах функционирования системы. Основными принципами, используемыми при построении моделей, являются универсальные законы сохранения: балансовые уравнения математико-экологических моделей основаны, как правило, на следующих законах: сохранения числа частиц (например, численности особей); сохранения вещества; сохранения энергии.   Кроме этого, уравнения содержат количественные выражения принятых гипотез о специфических экологических процессах (рождаемости, смертности, питания).

Развитие математико-экологических моделей можно проследить по эволюции тех научных и прикладных вопросов, для ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер.

Первой математической моделью была модель Ферхюльста, она описывала численность популяции, ее динамику.

Надорганизменные системы, которые изучает экология – популяции, биоценозы, экосистемы, – чрезвычайно сложны. В них возникает множество взаимосвязей, сила и постоянство которых непрерывно меняются. Одни и те же внешние воздействия могут привести к различным, иногда прямо противоположным результатам, в зависимости от того, в каком состоянии находилась система в момент воздействия.

Предвидеть ответные реакции системы на действие конкретных факторов можно лишь через сложный анализ существующих в ней количественных взаимоотношений и закономерностей. Поэтому в экологии широкое распространение получил метод математического моделирования  как средство изучения и прогнозирования природных процессов.

Суть метода заключается в том, что с помощью математических символов строится абстрактное упрощенное подобие изучаемой системы. Затем, меняя значение отдельных параметров, исследуют, как поведет себя данная искусственная система, т. е. как изменится конечный результат.

Первые математические модели учитывали закономерности естественного развития экологических систем. Полагалось, что компоненты экосистем, взаимодействуя, стремятся к стабильности своего системного образования и подчиняются законам эволюции. Под стабильностью экосистемы понимается ее способность к изменению своей структуры без разрушения системы в целом, а под сохранением - способность сохранять ее основные характеристики. Экосистема в целом является саморегулируемым комплексом, который стремится достигнуть стабильного состояния. Это возможно благодаря наличию как прямых, так и внутренних или внешних обратных связей. Простое саморегулирование, основанное на отрицательных обратных связях, осложняется наличием вторичных реакций и существованием предельных воздействий на экологические объекты.

В дальнейшем появились модели техносферы и модели, учитывающие антропогенное воздействие на компоненты планетарной экосистемы с проведением численных экспериментов и формированием качественных и количественных прогнозов. Модели стали базироваться на массовых данных динамического контроля, которые в  той или иной степени отвечали требованиям пространственно-временной, качественной и количественной репрезентативности.

При наличии обратных связей равновесие экосистемы имеет многозначный характер:

- стабильное равновесие, когда имеет место тенденция системы реставрировать условия предыдущего равновесия, которые были нарушены извне;

- нестабильное (дискретностабильное) равновесие, когда незначительное внешнее воздействие ведет к изменениям, заканчивающимся достижением нового устойчивого равновесия;

- динамическое равновесие - режим сбалансированных колебаний системы относительно постоянно развивающихся во времени и в определенном направлении условии функционирования системы, причем амплитуда этих колебаний значительно превышает размах изменений среднего состояния системы.

Модели строят на основании сведений, накопленных в полевых наблюдениях и экспериментах. Чтобы построить математическую модель, которая была бы адекватной, т. е. правильно отражала реальные процессы, требуются существенные эмпирические знания. Отразить все бесконечное множество связей популяции или биоценоза в единой математической схеме нереально. Однако, руководствуясь пониманием, что в надорганизменных системах имеется внутренняя структура и, следовательно, действует принцип «не все связи существенны», можно выделить главные связи и получить более или менее верное приближение к действительности.

2. ЭТАПЫ И МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

В построении математических моделей сложных процессов выделяются следующие этапы.

1.  Прежде всего, те реальные явления, которые хотят смоделировать, должны быть тщательно изучены: выявлены главные компоненты и установлены законы, определяющие характер взаимодействия между ними. Если неясно, как связаны между собой реальные объекты, построение адекватной модели невозможно. На этом этапе должны быть сформулированы те вопросы, ответ на которые должна дать модель. Прежде чем строить математическую модель природного явления, надо иметь гипотезу о его течении.

2. Разрабатывается математическая теория, описывающая изучаемые процессы с необходимой детальностью. На ее основе строится модель в виде системы абстрактных взаимодействий. Установленные законы должны быть облечены в точную математическую форму. Конкретные модели могут быть представлены в аналитической форме (системой аналитических уравнений) или в виде логической схемы машинной программы. Модель природного явления есть строгое математическое выражение сформулированной гипотезы.

3.   Проверка модели – расчет на основе модели и сличение результатов с действительностью. При этом проверяется правильность сформулированной гипотезы. При значительном расхождении сведений модель отвергают или совершенствуют. При согласованности результатов модели используют для прогноза, вводя в них различные исходные параметры.