Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов

.

Если ЭДС в ветвях отсутствует  , то закон Ома принимает вид

Затем из уравнения  определяем напряжения в узлах схемы замещения. Здесь матрица представляет собой напряжения узлов относительно базисного .

Покажем применение описанной методики на примере решения следующих задач.

При расчетах режимов электрических  сетей могут иметь место два  случая:

• схема замещения электрической сети не содержит замкнутых контуров,
• схема замещения электрической сети содержит замкнутые контуры.

Первая из рассмотренных  ниже задач посвящена расчету  установившегося режима электрической  сети, не содержащей замкнутых контуров, вторая расчету установившегося  режима для сетей, содержащих замкнутые  контуры.

Расчётная часть

Задача 1.

                       Рис. 2

 

 

Для схемы, представленной на рис.2 найти токи в ветвях разомкнутой  электрической сети, используя матричную  форму записи 1-го закона Кирхгофа. Токи нагрузки узлов равны:

Матрица задающих токов  принимает вид

 

Матрица задающих токов  равна матрице токов нагрузок, взятой с противоположным знаком. Выберем в качестве балансирующего узла узел. Обозначим через первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

Обобщенное уравнение  состояния :

 

 

Вычисление  обратной матрицы М классическим методом:

 

 

 

Транспонируем:

Находим значения элементов  путем вычеркивания строки и столбца:

Вписываем полученные значения в их точки:

Найдем определитель:

Разделим на определитель и получим обратную матрицу:

 

Теперь найдем обратную матрицу в системе MATLAB:

 

 

 

 

 

Из обобщенного уравнения состояния 

 

 

 

Вычисление токов в  ветвях в системе MATLAB:

 

 

 

 

Расчетная часть

 

 

Дано:

                                                 

 

                                  Рис. 3

 

 

 

 

 

В начале составим первую и вторую матрицы инциденций ( ) для нашего графа.

, узел является балансирующим узлом.

Столбцы в этой матрицы  можно условно пронумеровать  как связи  . Связи однозначно определяют направление ветвей в схеме замещения, так например, связь означает что данная ветвь имеет направление из узла в узел .

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь  вид:

.

В нашей схеме замещения  всего один независимый контур, в  соответствии с этим вторая матрица инциденций примет вид:

.

Столбцы в этой матрице  имеет ту же нумерацию, что и в  первой матрице инциденций.

 

Составим матрицу сопротивлений:

 

 

Теперь перемножим 2 матрицу инциденции с матрицей сопротивлений:

Запишем совместные матрицы:

 

Запишем для нашей  системы обобщенное уравнение состояния:

Последний элемент в  вектор- столбце равен , т.к. ЭДС в ветвях отсутствует.

 

Рассчитаем систему методом  обратной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим определитель матрицы

= =

 

 

Det = 8

 

Вычеслим алгебраические дополнения

 

Аналогично все остальные:

Получим

 

 

Поделив данную матрицу  на детерминант, получим обратную матрицу:

 

 

 

 

Подставим в формулу 

 

Ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или воспользуемся  методом Гаусса:

 

от 2; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на -1; -1

 

 

2-ую строку делим на -1

 

 

 от 1; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную  соответственно на -1; -4

 

 

3-ую строку делим на -1

 

 

от 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 2

 

 

 

 

 

4-ую строку делим на 8

 

 

от 1; 2; 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 1; 1; -1

 

 

Ответ

 

Для сверки расчетов просчитаем методом Крамера в MATLAB:

 

 

 

 

Сверим полученные результаты от трёх методов:

 

 

Метод Гаусса	50	130	170	50
Метод Крамера	50	130	170	50
Метод обратной матрицы	50	130	170	50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление узловых  напряжений аналитически

По формуле  найдём

 

По следующей формуле  составим систему линейных алгебраических уравнений:

 

 

 

 

 

Нахождение узловых  напряжений в системе MATLAB:

 

 

 

 

 

 

Сверим полученные результаты от двух методов:

 

 

Аналитически	5610	5560	5660
MATLAB	5610	5560	5660

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений

 методом Гаусса

В электроэнергетических  задачах наибольшее распространение получил метод последовательных исключений Гаусса. Он относится к классу точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода  и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений  - го порядка.

     (2)

Будем считать, что коэффициент  , который называют ведущим элементом первого шага, отличен от нуля (в случае, если , нужно поменять местами первое уравнение с - тым уравнением, в котором ). Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент . Введем множители

.

Прибавим теперь к каждому  - тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на . Проделав эту операцию, мы исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго.

Преобразованная система примет вид:

    (3)

Здесь индекс означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго  шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители

Прибавим к  -тому уравнению системы (3), второе уравнение, умноженное на , в результате исключим неизвестное из всех уравнений , кроме первых двух.

Проведя далее аналогичные преобразования, после  - го шага придем к треугольной системе вида :

   (4)

Второй этап – обратный ход метода Гаусса реализуется следующим  образом. Из последнего уравнения системы (4) определяем . По найденному значению из - го уравнения определяем неизвестное . Затем по значениям и из - го уравнения находим и т.д. Последовательное вычисление неизвестных продолжается до тех пор, пока из первого уравнения системы (4) не определим . На этом процесс решения заканчивается.

 

3.2 Решение систем линейных алгебраических  уравнений в системе MATLAB

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены, - неизвестные.

Сущность этого метода заключается в том, что,  начиная  со второго шага, зануляются все  элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной  диагонали. Это достигается с  помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений - го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно коэффициент.

Стандартной функцией, которая  реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB , является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

Расчётная часть

 

Перепишем систему уравнений в  матричном виде и решим его  методом Гаусса

 

 

В начале исследуем заданную систему  на совместность. Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов  и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

>> A=[3,-1,0,1;3,-8,52,1;4,-7,14,5;1,2,-3,-1];rank(A)

ans =

     4

>> A1=[3,-1,0,1,13;3,-8,52,1,-23;4,-7,14,5,-5;1,2,-3,-1,15];rank(A1)

ans =

     4

Получили, что ранг матрицы коэффициентов  равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

Проведем преобразования по прямому  ходу метода Гаусса

 

1-ую строку делим на 3

 

 

от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3; 4; 1

 

 

 

 

 

2-ую строку делим на -7

 

от 3; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -17/3; 7/3

 

3-ую строку делим на -590/21

 

от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 43/3

 

4-ую строку делим на 317/590

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения  системы определяем . Из предпоследнего уравнения находим . Проведя аналогичные вычисления, получаем  

В результате получаем вектор-столбец  искомых неизвестных

 

 

 

 

Метод Жордана-Гаусса:

1-ую строку делим на 3

 

 

от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3; 4; 1

 

 

 

 

2-ую строку делим на -7

 

 

 

от 1; 3; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -1/3; -17/3; 7/3

 

 

3-ую строку делим на -590/21

 

 

от 1; 2; 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -52/21; -52/7; 43/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-ую строку делим на 317/590

 

 

от 1; 2; 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 3/295; -286/295; -77/590

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет системы линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB:

 

 

 

 

Сверим полученные результаты от трёх методов:

 

 

Метод Гаусса	5,4069	7,2050	0,2776	3,9842
Метод Жордана-Гаусса	5,4069	7,2050	0,2776	3,9842
MATLAB	5,4069	7,2050	0,2776	3,9842