Математическое моделирование (сасимпл метод)

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

 

Знайти план завантаження станків по видах деталей і  варіантах обробки, при якому  мінімізуються загальні витрати  станко-годин на виконання виробничого  плану цеху.

 

ВИХІДНІ ДАНІ

 

Виробничим планом механічного  цеху передбачений випуск деталей 3-х  видів в кількості А_і штук, де і – номер деталі. У процесі виробництва деталі послідовно обробляються на верстатах 3-х видів. При цьому обробку будь-якої деталі можна здійснювати по будь-якому з двох технологічних варіантів, що різняться витратами часу роботи верстатів різних видів. Витрату часу на обробку однієї деталі і-го виду на верстаті j-го виду при k-ом технологічному варіанті виробництва дорівнює a_ijk. Плановий фонд часу роботи верстатів j-го виду дорівнює Ф_j.

Вихідні дані представлені у табл. 1.1.

 

Таблиця 1.1 – Вихідні дані

Групи обладнання (станків)	Деталі та варіанти їх обробки						Фонд часу роботи обладнання
	А1		А2		А3
	I	II	I	II	I	II
	Затрати часу на 1 деталь, ч
1	0,3	0,2	0,2	0,1	0,1	0,4	200
2	0,3	-	0,4	0,3	0,9	1,1	500
3	0,1	0,6	0,2	0,5	08	0,2	350
Об’єм виробництва	200		400		300

 

 

РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ

 

Нехай Х_ij – кількість деталей і-го виду, які обробляються по j-ому варіанту, і = ; j = .

Цільова функція, якій характерна мінімізація загальних витрат станко-годин  на виконання виробничого плану  цеху, матиме такий вигляд:

        F = 0,7x₁₁ + 0,8x₁₂ + 0,8x₂₁ + 0,9x₂₂ + 1,8x₃₁ + 1,7x₃₂     min

Складемо обмеження:

1. по об’єму виробництва:

і = 1; x₁₁ + x₁₂ = 200,

і = 2; x₂₁ + x₂₂ = 400,

і = 3; x₃₁ + x₃₂ =300.

2. по фонду часу роботи обладнання:

0,3 x₁₁ + 0,2 x₁₂ + 0,2 x₂₁ + 0,1 x₂₂ + 0,1 x₃₁ + 0,4 x₃₂ ≤ 200,

0,3 x₁₁ + 0 x₁₂ + 0,4 x₂₁  + 0,3 x₂₂ + 0,9 x₃₁ + 1,1 x₃₂ ≤ 500,

0,1 x₁₁ + 0,6 x₁₂ + 0,2 x₂₁ + 0,5 x₂₂ + 0,8 x₃₁ + 0,2 x₃₂ ≤ 350.

 

Для знаходження оптимального рішення задачі, що моделюється використовуємо програму SASIMPL, в якій реалізований симплекс-метод з мультиплікативним представленням зворотної матриці.

               Приведемо модель до канонічної  форми шляхом додавання додаткової  та фіктивної змінної до лівої  частини кожного обмеження так  як кожне з цих обмежень  типу «=»  та «≤». Цільова функція повинна задаватися для мінімізації. Коефіцієнти при додаткових змінних при записі в цільову функцію дорівнюють нулю, а коефіцієнти при фіктивних змінних – 1000.

               Модель в канонічній формі  матиме вигляд:

            F = 0,7x₁ + 0,8x₂ + 0,8x₃ + 0,9x₄ + 1,8x₅ + 1,7x₆           min

               де x₁₁ = x₁,

x₁₂ = x₂,

x₂₁ = x₃,

x₂₂ = x₄,

x₃₁ = x₅,

x₃₂ = x_6.

при обмеженнях:

1. по об’єму виробництва:

x₁ + x₂ + x₇ = 200,

x₃ + x₄ + x₈ = 400,

x₅ + x₆ + x₉ = 300.

2. по фонду часу роботи обладнання:

0,3 x₁ + 0,2 x₂ + 0,2 x₃ + 0,1 x₄ + 0,1 x₅ + 0,4 x₆ + х₁₀ =  200,

0,3 x₁ + 0 x₂ + 0,4 x₃  + 0,3 x₄ + 0,9 x₅ + 1,1 x₆ + х₁₁ = 500,

0,1 x₁ + 0,6 x₂ + 0,2 x₃ + 0,5 x₄ + 0,8 x₅ + 0,2 x₆ + х₁₂ = 350.

Створимо текстовий файл, що буде мати такі початкові дані:

n = 12 (кількість змінних);

m = 6 (кількість обмежень).

F = 0.7  0.8  0.8  0.9  1.8  1.7  1000  1000  1000  0  0  0  (цільова функція).

Limits:

1. 1  0  0  0  0  1 = 200
1. 0  1  1  0  0  0  1 = 400
1. 0  0  0  1  1  0  0  1 = 300

3. 0.2  0.2  0.1  0.1 0.4  0  0  0  1 = 200

3. 0  0.4  0.3  0.9  1.1  0  0  0  0  1 = 500

0.1  0.6  0.2  0.5  0.8  0.2  0  0  0  0  0  1 = 350

Після завантаження програми обираємо режим роботи «Вирішити  задачу лінійного програмування», обираємо текстовий файл з початковими  даними, щойно створений, програма здійснює обчислення і результат з’явиться  на екрані.

Оптимальне  рішення відображається в останній інтеграції: 

F = 990,000 (значення цільової функції),

при значенні базисних змінних:  х₁ = 200;       х₃ = 400;

х₅ = 200;       х₆ = 100;

х₁₁ = 60;         х₁₂ = 70.

       Зробимо  перевірку:

1. по об’єму виробництва:

і = 1; х₁ = 200, 200 = 200,

і = 2; х₃ = 400, 400 = 400,

і = 3; х ₅ = 200, х₆ = 100, 200 + 100 = 300.

2. по фонду часу роботи обладнання:

0,3*200 + 0,2*400 + 0,1*200 + 0,4*100 = 200,

0,3*200 + 0,4*400 + 0,9*200 +0,4*100 + 60 = 500,

0,1*200 + 0,2*400 + 0,8*200 + 0,2*100 + 70 = 350.

Цільова функція у канонічній формі матиме вигляд:

F = 0,7*200 + 0,8*400 + 1,8*200 + 1,7*100 = 990,

Тобто оптимальний план завантаження станків дорівнює 990.

 

 

 

ВИСНОВОК

 

Для виконання виробничого  плану цеху, за умовами обробки 1-го, 2-го та 3-го виду деталей необхідно здійснити обробку по I варіанту всіх видів деталей у такій кількості:

• 1-го виду деталей – 200 шт. (х₁₁ = 200);
• 2-го виду деталей – 400 шт. (х₂₁ = 400);
• 3-го виду деталей – 200 шт. (х₃₁ = 200).

Також, необхідно здійснити  обробку 3-го виду деталей по II варіанту обробки у кількості 100 шт. (х₃₂ = 100), мінімальні загальні витрати складуть 990 станко-годин.

При цьому обробка деталей 1-го та 2-го виду деталей II варіантом (х₁₂, х₂₂) не є доцільною, так як загальні витрати станко-годин не задовольняють умову мінімізації.

Невикористаний фонд часу роботи обладнання 2-ї групи складає 60   (х₁₁ = 60) та для 3-ї групи – 70 (х₁₂ = 70).