Математическое программирование: Линейное программирование, постановка задач, методы решения

Таким образом, все ограничения задачи делятся на 3 группы, обусловленные:

1) расходом  элементов электронных схем;

2) суточным  объемом технологических линий;

3)неотрицательностью  объемов производства.

     Запишем эти ограничения в математической форме:

1. Т.к. из условия на радиоприемники первой и второй модели необходимо 15 и 20 элементов соответственно, то данное ограничение имеет вид:

[шт/сутки]

2. Ограничения по суточному объему первой и второй технологических линий имеют вид:

 [шт/сутки]

3. Неотрицательность объемов производства задается как

.

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

Математическую  модель задачи о радиоприёмниках мы нашли на предыдущем шаге:

Построим  прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.3.1).

прямая (1) – точки (0;95) и (63,(3);0), прямая (2) проходит через точку параллельно оси , прямая (3) проходит через точку параллельно оси .

Рис.2. Графическое  решение задачи о производстве радиоприемников. 

     Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в  исходное ограничение (1), получим , что является истинным неравенством, поэтому стрелкой обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (1). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (см. рис.3.1). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDE.

     Целевую прямую можно построить по уравнению

     Точки пересечения с осями – (0;75) и (37,5;0)

     Строим  вектор из точки (0;0) в точку (40;20). Точка D – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDE, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора . Поэтому D – это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки D из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

     Получили  точку D(60;5) [шт/сутки].

     Максимальное  значение ЦФ равно [$/сутки].

     Таким образом, наилучшим режимом работы предприятия является ежесуточное  производство радиоприемников первой модели в количестве 60 штук и радиоприемников второй модели в количестве 5 штук. Доход от продажи составит  2500$ в сутки.

Заключение

     Цель  курсового исследования достигнута путём реализации поставленных задач. В результате проведённого исследования по теме:  «Математическое программирование: Линейное программирование, постановка задач, методы решения» можно сделать ряд выводов:

     Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная  теории и методам решения задач  о нахождении экстремумов функций  на множествах, определяемых линейными  и нелинейными ограничениями (равенствами  и неравенствами).

     Математическое  программирование — раздел науки  об исследовании операций, охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых  являются конечномерные экстремальные  задачи. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.

     Линейное  программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам  решения задач об экстремумах  линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и  равенств. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования.

   Симплексный метод решения задач линейного программирования является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

     Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного  программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно. 

      Список литературы

1. Агальцов В.П. Математические методы в программирование. – М., 2009
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2т. учеб. пособ. – М.: Высш. шк., 2008
3. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. М.: Инфра-М, 2006 г.
4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2007 г.
5. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. Минск: Вышейшая школа, 2006 г.
6. Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
7. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2005.
8. Минюк С. А., Ровба Е. А., Кузьмич К. К. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.
9. Акоф Р., Сасиенси М. Основы исследования операций / Перевод с англ. и предисловие В.Я. Алтаева под ред. И.А.Ушакова.- М.: Мир, 1971. – 535 с., ил.
10. Вершик А.М. О Л.В. Канторовиче и линейном программировании.
11. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.
12. Трояновский В. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Рус.Дел.Лит.,  1999.
13. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: ФиС, 2003.   
14. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986.
15. Томас Х. Кормен и др.  Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006