Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Ноября 2013 в 13:39, курсовая работа
В світі не відбувається нічого, в чому б не був видний сенс якого-небудь максимуму або мінімуму.
У математиці вивчення задач на знаходження максимуму і мінімуму почалося дуже давно. Але тільки лише в епоху формування математичного аналізу були створені перші методи рішення й дослідження задач на екстремум.
Потреби практичного життя, особливо в галузі економіки і техніки, останнім часом висунули такі нові завдання, які старими методами вирішити не вдавалося. Треба було йти далі.
ВСТУП…………………………...............................................................................3
1.1. ПОНЯТТЯ ПРО ФУНКЦІОНАЛ ТА ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІОНАЛА...........4
1.2. НЕОБХІДНА УМОВА ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІОНАЛА…………………..11
1.3. ЗАДАЧА НА ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІОНАЛА З ЗАКРІПЛЕНИМИ КІНЦЯМИ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ЕКСТРЕМАЛЕЙ (РІВНЯННЯ ЕЙЛЕРА)……………………………………………………………………………....12
2. ЗАДАЧА ПРО БРАХІСТОХРОНУ………………………………………………16
3. ВИСНОВКИ………………………………………………………………………..18
4. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………………19
Помістимо початок координат в точку А, вісь Ох направимо горизонтально, вісь Оу – вертикально вниз. Швидкість руху матеріальної точки
Звідси знаходимо час, витрачений на переміщення точки із положення А(0;0) в положення В(:
Оскільки функція не залежить явно від знаходимо
І рівняння Ейлера приймає вигляд
Введемо параметр t, вважаючи, що тоді отримуємо
Звідси
Позначаючи і отримуємо
Так як при y=0 величина x=0, то
Таким чином екстремалями є циклоїди.
Висновки
Метою даної курсової роботи було розкриття питань необхідної умови екстремуму функціонала, знайомство з рівнянням Ейлера та застосування його на практиці. Також ми розглянули задачу про брахістатрону, та її розв’язання. Отже, диференціальне рівняння другого порядку
називається рівнянням Ейлера.
А необхідна умова екстремуму функції полягає в рівності нулю її диференціала.
Поставлені на початку роботи задачі були досягнуті, а завдання виконані.
Список використаної літератури.
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
2. Мышкис А.Д. Математика для втузов (специальные курсы). —М.: Наука, 1971. — 632 с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.4, ч.1. —М.: Наука, 1974. — 336 с.
4. Высшая математика / П.Ф.Овчинников, Б.М.Лисицын, В.М.Михайленко. —К.: Вища шк., 1989. — 676 с.
5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. —К.: Либідь, 1996. — 440 с.
6. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. —М.: Наука, 1970. — 191 с.
7. Вариационное исчисление (задачи и упражнения) / М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. —М.: Наука, 1973. — 192 с.
8. Высшая математика: Сборник задач /Х.И.Гаврильченко, А.Ф.Кривой, П.С.Кропивянский и др. — К.: Вища шк., 1991. — 455 с.
9. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.II / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. —М.: Высш.шк., 1997. — 416 с.