Матрицы

Аймурзина А. А. ФОРУМ 1. ТЕМА: Матрицы. Определители. Система линейных уравнений и неравенств.

>Ответьте на следующие вопросы.

>1. Какова связь математики  с другими науками (макро- микроэкономики, маркетинг, статистика и другие)?

Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

>2. Что называется матрицей  размером m×n?

Матрицей размера  называется множество элементов а_ij прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, имеющей вид:

 

                      

 

>3.Что называется элементом  матрицы? 

Числа a_{i j}, составляющие матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца.

>4.Какие виды матриц Вы знаете?

Матрицей размера  называется множество элементов а_ij прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, имеющей вид и называется квадратной матрицей.

 

                                                 

Если m=n (в частности m=n=2), то А-квадратная матрица

Квадратная матрица, все элементы которой нули, называется нулевой  матрицей соответствующего размера.

Квадратная матрица, в  которой все элементы главной  диагонали - единицы,  а остальные - нули, называется единичной (соответствующего размера).

 

>5.Что называется главной диагональю квадратной матрицы?

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

 

>6.Как сложить (вычесть) две  матрицы? 

Матрицы одинакового размера  m n можно складывать и вычитать по правилу: (с_ij) = (a_ij) (b_ij) => c_ij = a_ij b_ij

 

>7.Каким образом умножаесть  матрица на число, и как перемножать  матрицы между собой?

Матрицы произвольного размера можно умножить на число по формуле: λА = (λа_ij)

Матрицу А можно умножить на матрицу В, если их размеры согласованы: число столбцов А равно числу  строк В. Элементы с_ij есть сумма произведений элементов i - строки матрицы А на j - столбец матрицы В т.е.

с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + . . . + a_inb_nj   i = 1, 2, . . . , m

 

>8. Как вычислить определитель  второго (третьего) порядка?

Определителем II порядка называется число а₁₁а₂₂  - а₂₁а₁₂                                                                              

 

Определителем III порядка называется число

= а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₃а₂₁а₃₂ + а₃₁а₁₂а₂₃ - а₃₁а₂₂а₁₃ - а₁₁а₃₂а₁₃ - а₃₃а₂₁а₁₂

       

 

>9.В чем заключается правило  Саррюса?

правило Саррюса  или правило треугольников.

Три слагаемых, входящих в сумму со знаком "плюс", находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других - произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получаются два треугольника, располагающиеся поперек главной диагонали) (рис. А).

Слагаемые, входящие в со знаком "минус", строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Правило треугольника (Саррюса)

     *   *   *   (+)                      *   *   *   ( - )

     *   *   *                              *   *   *

     *   *   *                              *   *   *

 

>10.Можно ли общий  множетель в определители выносить  за знак определителя?

Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда можно вынести  за знак определителя.

>11.Что называется  минором?

Минором М_ij элемента а_ij определителя называется определитель, полученный из данного определителя после вычеркивания строки и столбца на пересечении которых стоит а_ij. Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij определителя определяется так:

 

         А_ij = (-1)^i+j М_ij

 

>12.Что называется  алгебраичесим дополнением?

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

 

>13.По какой формуле  вычисляется обратная матрица?

Правило построения обратной матрицы: чтобы получить обратную матрицу  А^-1 по отношению к данной матрице А, необходимо в последней заменить все элементы а_ij их алгебраическими дополнениями А_ij , транспонировать и полученную матрицу умножить на (det A )^-1 = 1 / ∆

 

>14.Что называется  системой m линейных уравнений с  n неизвестными?

Системой  из m линейных алгебраических уравнений  с n неизвестными называется система вида:

    (2.1)

 

Здесь переменные x₁,x₂,...,x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,...,b_m – свободными членами.

 

>15.Какая система называется  совместной системой?

Система уравнений  называется  совместной, если она  имеет хотя бы одно решение, и  несовместной, если она не имеет ни одного решения.

>16. Что называется системой m линейных  уравнений с n неизвестными?

Системой  из m линейных алгебраических уравнений  с n неизвестными называется система вида:

    (2.1)

 

Здесь переменные x₁,x₂,...,x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,...,b_m – свободными членами.

 

>17.В чем хаключается метод Гаусса?

Исследовать систему  – это значит определить совместна ли она и, в  случае совместности, определить, сколько  решений она имеет.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.