Методи розв’язування систем ірраціональних нерівностей

Міністерство  освіти і науки, молоді та спорту України

Житомирський  державний університет імені  І. Франка

Кафедра математики

Доповідь на тему:

Методи розв’язування  систем ірраціональних нерівностей.

 

Система нерівностей - це дві або більше нерівності, об’єднані для пошуку спільних розв’язків. У запису системи їх об’єднують зліва фігурною дужкою.

Розв’язати систему нерівностей ознaчaє знайти множину її розв’язків aбо довести, що їх не існує.

Розв’язок системи нерівностей  ― це знaчення змінної, яке зaдовольняє кожну нерівність дaної системи.

Щоб розв’язaти систему нерівностей, необхідно розв’язaти окремо кожну нерівність, після чого знaйти переріз одержaних розв’язків, що й буде розв’язком системи нерівностей.

Головна мета при розв’язуванні  ірраціональних рівнянь або їх систем — це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами: або заміною, або піднесенням  обох частин рівняння до відповідного степеня. Якщо при виконанні заміни, завдяки якій позбуваються ірраціональності, виконується еквівалентне перетворення, то при піднесенні обох частин до степеня, як правило, дістаємо лише наслідок з  початкового рівняння. Зважаючи на це, розв’язування ірраціональних рівнянь слід починати зі знаходження  ОДЗ рівняння. Якщо це не зроблено, треба  обов’язково виконати перевірку  здобутих розв’язків з метою виявлення  сторонніх коренів. Узагалі кажучи, перевірку здобутих розв’язків потрібно робити при розв’язуванні будь-якої задачі, якщо це не пов’язано з виконанням складних перетворень.

Заміни використовуються досить часто і при розв’язанні  ірраціональних систем рівнянь. Тому не слід поспішати з піднесенням  обох частин рівнянь системи до відповідного степеня, спочатку треба вивчити  систему і поміркувати, як можна  обійтися без цього.

 

1. Розв’язати систему нерівностей:   

   

Розв’яжемо кожну нерівність окремо і зробимо переріз отриманих  розв’язків:

1. ,   тобто отже

2.  , 

       

Відповідь:

 

2. Розв’язати систему нерівностей:

_{Розглянемо  кожну нерівність окремо:}

а) ,

 
б)

   

Відповідь:

№3

Розв’яжемо кожну нерівність окремо.

1.                                 

 

 

           x

 

 

Розглянемо два  випадки

• Якщо 2 то дві частини нерівності можна звести до квадрату. Тоді

,       ,      .

Ураховуючи умову  0, отримуємо .

• Якщо то нерівність буде виконана для всіх x,

задовольняють також нерівность  ,

Тоді  Об’єднавши два випадки отримуємо

Відповідь: xϵ[3;5]

№4

Розв’яжемо цю систему, розв’язавши  кожну нерівність окремо, спочатку розглянемо випадок, коли знаменник більше нуля:

 

 

 

 

 

 

 

 

D=25,  .

 

 

 

D=0, , тоді

 

 

.

 

 

 

D=100,

(x+9)(x – 1).

 

Отже, ми можемо записати відповідь:

 

 

 

 

 

x

 

Відповідь: x

Прикладна задача

В яких межах змінюється швидкість точки, що рухається рівномірно по прямій, якщо відомо, що при збільшенні швидкості на 1 м/с ця точка при подоланні відстані 250 м виграє не менше ніж 1 секунду, і не більше ніж 50 секунд?

Розв’язок:

Нехай швидкість  точки х м/с, тоді вона витрачає на проходження шляху 250 м – 250/х секунд, а при швидкості (х+1)м/с -  250/(х+1) секунд. Згідно умови задачі, буде мати місце система нерівностей :

далі отримаємо  таку систему нерівностей

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді швидкість  буде в таких межах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Навчальна модель розв’язування систем ірраціональних нерівностей:

1. Змістовий аналіз нерівностей.
2. Розглянути окремо кожну нерівність та розв’язати їх найбільш раціональним способом.
3. Здійснити перетин знайдених розв’язків.
4. Записати відповідь.
5. Здійснити самооцінку, самоаналіз та самоконтроль виконаної діяльності.

 

Список використаної літератури:

1.  Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки ана-

лізу: Підручн. для 11 кл. загальноосвітн. навч. закл. — К.: Зодіак — Еко, 2002. — 384 с.

2. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.  Практикум по элементарной математике: Алгебра.  Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: «ABF», 1995 — 352 с: ил. - ISBN 5-87484-023-0.

3. Кушнир И. Справочник по математике для школьников., 1998 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       І, Р, В