Методы одномерной оптимизации использующие производные

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

Волжский политехнический  институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

(ВПИ (филиал) ВолгГТУ)

Инженерно-экономический факультет

Информатика и технология программирования

Факультет «_________________________________________________________»

Кафедра «___________________________________________________________»

 

 

 

Лабораторная работа

 

Методы  оптимизации

 

по дисциплине «_____________________________________________________»

Методы одномерной оптимизации использующие производные.

Метод средней точки.

(вариант  № 24)

 

 

на тему______________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Чегурихина Диана Юрьевна

Студент_____________________________________________________________

ВВТ-306

(имя, отчество, фамилия)

Группа________________________

 

 

 

Оценка    ________________________    

                                           (в баллах)       

доц. Киселев В.В.

Проверил   ________________________      _____________________

     (подпись и дата подписания)           (долж., инициалы и фамилия)

 

Н.А.Билялова

Нормоконтролер ______________________________      _____________________________

(подпись, дата подписания)                                    (инициалы и фамилия)

Волжский, 2013 г.

 

Задание:

Найти экстремум  целевой функции с помощью  метода средней точки:

Экстремум должен быть найден с точностью 

Вариант задания:

Номер варианта: 24

Целевая функция: на [2;4]

Тип экстремума: максимум.

График функции, на заданном интервале:

 

 

Метод средней точки

Предположим, что на отрезке [a,b] нужно найти минимум непрерывно дифференцируемой и унимодальной функции f(x).

Пусть x1 - середина отрезка [a,b], т.е. x1=(a+b)/2.

Находим K = f ‘(x1)  - значение производной целевой функции в середине отрезка [a,b].  Если K>0 то, переходим к отрезку [a, x1].

Если K<0  то переходим к отрезку [x1, b].

На каждом шаге длина отрезка, содержащего  точку экстремума, уменьшается в  два раза. Этим данный метод напоминает метод дихотомии, но метод средней  точки эффективнее.

Условием  прекращения вычислений может быть либо достаточно малая длина полученного отрезка, либо достаточно малое значение абсолютной величины производной.

 

 

 

Алгоритм  метода средней точки:

Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, e.

Шаг 2. Определить x0 = .

Шаг 3. Вычислить f '(x0).

Шаг 4. Проверить  критерий окончания вычислений. Если êf '(x0) ê£ e, ,перейти к шагу 6, иначе – к шагу 5.

Шаг 5. Перейти  к новому отрезку локализации [a, b]. Если f '(x0) > 0, то положить b = x0. Иначе  положить a = x0. Перейти к шагу 2.

Шаг 6. Положить x* » x0. Вычислить f'(x*).

 

Реализация метода средней точки  в пакете Mathcad:

Задание: найти максимум целевой  функции с помощью метода средней  точки.

Построим график функции для  того чтобы убедиться что функция  неприрывна на этом интервале, и на этом интервале рассположена одна точка экстремума

Задачи поиска максимума эквивалентны задачам поиска минимума, так как  требуется лишь поменять знак перед  функцией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производную данной функции