Методы построения решений системы линейных неравенств

    Разумеется, если в данной системе неравенств имеется подсистема, для которой сразу можно указать фундаментальный набор решений, то в качестве исходного пункта следует взять эту подсистему; присоединяя к ней последовательно остальные неравенства, мы после ряда шагов построим искомый фундаментальный набор.

Пример. Для системы

 

 

требуется найти все неотрицательные  решения, т. е. все решения, удовлетворяющие условиям

 

Иначе говоря, нужно найти  общее решение системы (19'), (20').

Нетрудно видеть, что для  системы (20') фундаментальным набором будет являться набор из точек

 

, ,

,

 

(действительно, любое решение  () системы (20') представимо в виде ). Присоединим к системе (20') первое из неравенств (19') и для полученной таким образом системы построим фундаментальный набор решений. Для удобства вычислений составим такую таблицу:

 

Таблица 1 - Фундаментальные точки для системы (20')

 

					L1(X)
X1	1	0	0	0
X2	0	1	0	0
X3	0	0	1	0
X4	0	0	0	1

 

Примечание – Источник: собственная  разработка

 

В каждой строке таблицы  указана одна из фундаментальных точек для системы (20'), а также значение функции L₁(X) для этой точки. Из таблицы видно, что единственной точкой типа является , точки типа суть ,  а точек типа в данном случае нет.

Находим точки типа . Ими будут:

 

=(5, 0, 3, 0),

   =(0, 5, 4, 0),

=(0, 0, 6, 5).

 

Чтобы не усложнять дальнейших записей, обозначим эти точки , , (соответственно), а вместо будем писать .

Точки , , , образуют фундаментальный набор решений для системы, состоящей из (20') и первого из неравенств (19').

Присоединяем к этой системе  второе из неравенств (19') и составляем следующую таблицу:

 

Таблица 2 - фундаментальный  набор решений для системы, состоящей  из (20') и (19') неравенств

					L2(Y)
	0	0	1	0
	5	0	3	0
	0	5	4	0
	0	0	6	5

 

Примечание – Источник: собственная  разработка

Из таблицы видно, что  роль точек  теперь играют , , роль точек играют  , , а точек типа нет. Находим точки типа :

 

,

  ,

    ,

         

 

  Точки , , , , , образуют фундаментальный набор решений для системы (19'), (20'). Общее решение имеет вид

 

 

 

где   а, b, с, d, e, f — какие   угодно   неотрицательные числа.

   Если положить a = k₁ , b = k₂, 5c = k₃, 5d = k₄, 5e = k₅, 5f = k₆, то получим для Х представление,

 

X = k₁ (5, 0, 3, 0) + k₂ (0, 5, 4, 0) + k₃ (3, 0, 2, 0) + k₄ (0, 3, 3, 0) + k₅ (13, 0, 9, 1) + k₆ (0, 13, 14, 3),

 

где   k₁, k₂, ..., k₆— произвольные   неотрицательные числа.

 

 

2.2 Неоднородная система линейных неравенств. фундаментальный набор решений

 

Зная как строить общее  решение однородной системы неравенств, не составляет труда решить аналогичную задачу для произвольной, т. е. неоднородной, системы неравенств.

 

 

Пусть

— произвольная система  линейных неравенств с п неизвестными х₁, х₂, ..., х_п. Рассмотрим наряду с ней однородную систему

 

с n + 1 неизвестными х₁, х₂, ..., х_п, t.

Между решениями систем (1.1') и (1.2') имеется определенного рода связь. А именно, если х₁, х₂, ..., х_п, t — какое-либо решение системы (1.2'), причем t > 0, то числа

₁ =, ₂ =, …, _n =

будут составлять решение  системы (1.1').

В самом деле, рассмотрим, например, первое из неравенств (1.2'). Оно выполняется для чисел х₁, х₂, ..., х_п, t, т. е.

 

                             a₁х₁ + а₂х₂ + ... + а_пх_п > at.

Разделив обе части  неравенства на положительное число t, будем иметь

                                              a₁₁ + а₂₂ + ... + а_пп > a,

 

это означает, что набор  чисел ₁, ₂, ..., _п удовлетворяет первому из неравенств (1.1'). Аналогичное рассуждение можно провести для любого из неравенств (1.2'), откуда и следует наше утверждение.

Нетрудно видеть, что любое  решение системы (1.1') может быть получено указанным выше способом. Действительно, если и, ₁, ₂, ..., _п — какое-либо решение системы (1.1'), то числа х₁ = ₁, х₂ = ₂,…, х_п =_п, t = 1 удовлетворяют системе (1.2'), и при этом справедливы равенства (1.3'),

Итак, чтобы отыскать все  решения ₁, ₂, ..., _п системы (1.1'), надо найти все решения системы (1.2'), для которых t > 0, и преобразовать их по формулам (1.3').

Пример. Пусть требуется найти все решения системы

 

 

Поступая, как указано  выше, запишем вспомогательную однородную систему

 

 

Добавляя к этой системе  неравенство t  ≥ 0 (ибо нас интересуют только такие решения, для которые t>0), получаем систему (19'), (20') из п 2.1, с той лишь разницей, что вместо х₄ написано t. Множество решений этой системы, как показано в п 2.1, описывается формулами

 

,

,

                                 ,

,

 

где — любые неотрицательные числа. Так как нас интересуют лишь решения, для которых t > 0, то следует считать, что хотя бы одно из чисел отлично от нуля (строго положительно). Теперь находим общее решение системы (1.4') по формулам

 

 

 

       Еще раз подчеркнем, что в этих формулах — любые неотрицательные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

 

 

               

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

             3 применение линейных неравенств в экономике

 

        Чтобы подробнее изучить прикладные аспекты теории линейных неравенств в математической экономике рассмотрим следующие задачи.

 

Задача  №1.  Для строительства домов на 100 строительных площадках были выбраны 5 типовых проектов. По каждому из проектов известны продолжительность закладки фундаментов и строительства остальной части дома (таблица после задания). Одновременно можно вести закладку не более 10 фундаментов и строительство не более 15 домов. Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять годовой план (300 рабочих дней) строительства домов при дополнительном требовании, что домов II типа должно быть построено не менее 10.

 

Таблица 3 – Данные для  задачи №1

 

Вид работы	Продолжительность работ (дн.) для проекта
	I	II	III	IV	VI
Закладка фундамента   Остальные работы	20             30             35             30            40     40             20             60             35            25

 

Примечание – Источник:[2]

 

Решение. Обозначим через ,,,, соответственно количество домов каждого типа, планируемых к строительству в течение года. По условию должно быть построено 100 домов. В принятых обозначениях этот факт можно выразить следующей записью:

 

                                           ++++=100.                                             (1.1.1')

 

       Поскольку одновременно можно вести работы по закладке не более 10 фундаментов, годовой фонд времени по этому виду работ ограничен величиной 300*10 рабочих дней. Для реализации плана (,,,,) только на закладку фундаментов потребуется (20+30+35+30+40) рабочих дней. Это количество не может превышать имеющегося фонда времени, предусмотрено для данного вида работ, поэтому должно выполняться неравенство:

 

                                 20+30+35+30+40 ≤ 3000.                               (1.1.2')

 

       Фонд  времени на строительство остальной  части домов составляет 300*14=4500 рабочих дней. На этот вид работ фактически будет потрачено (40+20+60+35+25) рабочих дней. Ясно, что это количество не должно превышать имеющегося фонда времени, т.е.

 

                                  40+20+60+35+25 ≤ 4500.                              (1.1.3')

 

И, наконец, учитывая последнее  требование задачи, приходим к неравенству

 

                                                    ≥ 10.                                                            ( 1.1.4')

 

       Остаётся присоединить естественное условие неотрицательности для остальных переменных:

 

                                      ≥ 0,  ≥0,  ≥0,  ≥0.                                            (1.1.5')

 

        Итак, любой реальный годовой план  строительства домов должен удовлетворять смешанной системе, состоящей из линейного уравнения (1.1.1') и линейных неравенств (1.1.2')-(1.1.5').

 

Задача №2. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей A, или 1200 деталей B, или любую их комбинацию в пределах своей мощности. Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на закалку, позволяет обработать за смену либо 1400 деталей A, либо 800 деталей B. Найти область планов выпуска деталей за смену, учитывающих возможности цехов, занятых их изготовлением.

 

Решение. Обозначим через и соответственно количества деталей A и B, выпускаемых за смену. Анализируя возможности механического цеха, мощность которого примем за единицу, необходимо учесть, что при одновременном выпуске и тех и других деталей должно выполняться условие пропорциональности количества деталей данного вида доле производственной мощности цеха, занятой её выпуском. Так что изготовлением одной детали A будет занята всей мощности цеха, а одной детали B   всей мощности. Для реализации плана потребуется занять всей мощности цеха, что, естественно, не может быть более чем вся наличная производственная мощность цеха, принятая за единицу. Это условие выражается следующей записью:

 

.

 

           Аналогичное условие необходимо соблюсти и в отношении термического цеха:

.

            Ограничение по пропускной способности третьего цеха запишется в виде .

           Из практических соображений ясно, что и выражается неотрицательными числами: и . Таким образом, область допустимых планов описывается следующей системой неравенств:

 

 

 

        На рис. 12 изображена область допустимых планов (заштрихованная часть), представляющая собой выпуклый многоугольник OABCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заключение

 

В любом из современных  курсов экономики в той или  иной степени используется математический аппарат: анализируются графики  различных зависимостей, проводится математическая обработка статистических данных и т. д. В эпоху рыночных отношений роль математических методов многократно возросла. Так как главная проблема экономики – проблема рационального выбора, то чтобы его сделать становится необходимым произвести математический расчёт. Одним из способов такого расчёта является решение систем линейных неравенств.

В ходе проведенного исследования, отображенного в курсовой работе, были изучены способы решений систем линейных неравенств, а также рассмотрены решения однородных и неоднородных систем линейных неравенств, которые были применены в нахождении области планов выпуска продукции в рассмотренной задаче.