Введение.

Существенной  характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля).

В практике преподавания математики в школе  понятие модуля встречается неоднократно. Так, например, в VIII классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находят свое приложение понятие модуля числа. Еще примером может служить IX класс, в теме «Степень с рациональным показателем» рассматриваются свойства корней n-ой степени, где так же используется понятие модуля числа.

Но эти  примеры уже используют модуль числа, а само понятие закладывается  раньше. В VI классе дети впервые сталкиваются с понятием модуль числа.  Именно в этот период важно проследить за правильным формированием у детей понятие модуля, так как модуль проходит через весь курс алгебры. И если дети не усвоят это понятие в VI классе, то у них будут возникать трудности с пониманием многих вещей в будущем.

Темы, связанные  с модулем являются сложными для  восприятия учеников. В различных  учебниках первоначальное понятие  модуля вводится по-разному: как расстояние от точки изображающей число до начала отсчёта (Математика. Н.Я. Виленкин), как  длина вектора (Математика. П.М. Эрдниев), как число “без знака” (Математика. Г.В. Дорофеев) и др.

Глава 1. Общие сведения о модуле числа.

1. Введение понятия модуль числа.

Понятие модуль числа появляется впервые  в курсе VI класса. Это связанно с тем, что в шестом классе учащиеся приходится решать все более сложные уравнения.

Понятие модуль вводится обычно при  помощи числовой прямой.

Задачей предшествующей введение понятия модуль может быть такая задача:

1. Назвать точки, расстояния до которых от нуля, одинаковы:

                                -6             -3   -2  -1     0     1      3  4   6  7         х

После рассмотрения вышестоящей задачи можно переходить к введения самого понятия модуль. В учебнике «Математика 6» авторов  Г. Янченко и В. Кравчук приводится хорошая задача для введения модуля. Текст задачи такой: «Из пункта О в противоположных направлениях выехали два автомобиля и через некоторое время первый автомобиль был в точке А(-20), а второй в точке – В(15). Который из автомобилей проехал большее расстояние?»

Чтобы ответить на этот вопрос дети должны сравнить расстояния ОА и ОВ. Несомненно, что расстояние ОА больше ОВ, так как ОА=20 и ОВ=15. Из этого можно сделать вывод, что мы сравнивали числа «без знака».

После решения данной задачи можно определить понятие модуля так:

                                                                                                          

                                                                                                                                            х

                                               -а                                  0                              а

Из данного  рисунка видно, что модуль это  расстояние от начала координат до точки.

И так, модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

При  помощи данного рисунка можно  легко перейти к аналитической  записи понятия модуль. Для этого  нужно установить связь между  модулем числа и самим числом. Получим:  

         Данное определение должен понять  и запомнить каждый ученик, причем  в таком виде: Модуль неотрицательного числа есть само это число, а модуль отрицательного числа есть число ему противоположное. (Только в этом случае, учащиеся будут решать уравнения, неравенства и их системы с модулем.)

Так же при помощи координатной прямой легко  вывести свойства модуля.

Свойства:

1. Модули  противоположных чисел равны:  .

2. Квадрат  модуля числа равен квадрату  этого числа: 

Следствие для любого четного числа m.

3. Квадратный  корень из квадрата числа есть  модуль этого числа: . Следствие   , где n - любое натуральное число.

4.Модуль  числа  есть число неотрицательное  .

5. Модуль  числа не меньше этого числа:  .

6. Модуль  числа а равен максимальному  из двух противоположных чисел  а и  (-а):

7. Постоянный  положительный множитель можно  выносить за знак модуля , c>0

8. Если  , то a= b.

9. Модуль  произведения двух (и более) чисел  равен произведению их модулей 

10. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: , если b ≠ 0.

11. Модуль  суммы двух (или более) чисел  не больше суммы их модулей: 

 .

, тогда и только  тогда, когда  ab ≥ 0.

12. Модуль  разности двух чисел не больше  суммы их модулей: 

.

13. , тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.

14. Модуль  суммы двух чисел не меньше  разности их модулей: 

.

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета. Если a ≠0, то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленные  от нуля, модули которых равны.  Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой  0.

1.2 Виды задач с модулем.

1. Найти модули чисел
2. Упростить выражение

         Примеры: 

3. Доказать  тождество

Примеры 

1.    
2.      
3.    

4. Решить уравнение

Примеры

5. Решить неравенства с одним неизвестным

Примеры

 

6. Неравенства с двумя неизвестными

Примеры

1. 7. Система уравнений
   8. Система неравенств
   9. Модуль и преобразование корней

   Упростите выражение:

   10. Модуль и иррациональные уравнения

   Решить  уравнение:

   3. = 10
   11. Построение графиков функций с модулем

   Построить график функции:

    
   

   1.3 Классификация.

   О

   т

   н

   о

   с

   и

   т

   е

   л

   ь

   н

   о

    

   п

   о

   д

   м

   о

   д

   у

   л

   ь

   н

   о

   г

   о

    

   в

   ы

   р

   а

   ж

   е

   н

   и

   я

   :

   1. Простое. Под знаком модуля только одна переменная или число.
   2. Сложная. Под знаком модуля выражение.
   3. Смешанное. Под знаком модуля выражение содержащее модули переменных

   Относительно  способа решения:

   1. С помощью определения модуля
   2. С помощью графиков
   3. С помощью свойств
   4. С помощью интервалов
   5. С помощью возведения в квадрат

   Глава 2. Задачи связанные с модулем числа.

   1. График функции y=

   Первое, что должно быть рассмотрено – это четность функции содержащей модуль.

   Так как четность поможет строить  графики данных функций. Четность несложно доказывается:

   Так как ,  то .

   Из  четности функции  следует, что ее график будет симметричен относительно оси Oy. Из этого следует, что достаточно построить график функции y=f(x)  для x>0, а затем достроить левую часть, которая будет симметрична правой относительно оси Oy.

   Пример 1: пусть график функции выглядит y=f(x)   так

   То  график функции y= будет выглядеть так:

   Пример 2: построить график функции y=

   Для этого сначала необходимо построить  график функции y=x при x>0.  Он будет выглядеть так:

   А затем  получившуюся правую часть отразить симметрично оси Oy. Вот что при этом получится:

   Для построения графики функции y= можно применять и другой способ. Он заключается в том, что обе части графика строятся самостоятельно. Для этого необходимо данную функцию представить совокупностью двух функций 
   

   Пример 3: Построить график функции 

   Раскладывая эту функцию на две получим: 
   

   Теперь  строим график функции y= , а затем строим график второй функции y= .

   В итоге  получится такой график:

   Данный  способ хорош тем, что ученики  сразу не всегда могут отразить симметрично  график функции, а этот способ позволяет  просто строить два графика функций  по точкам, как это они делали раньше. 
   

   2.   График функции y=

   Так же как и с предыдущей функцией, эту функцию можно разбить  на совокупность двух функций: 
   

   Из  этой совокупности можно вывести  алгоритм построения графика функции  y=. Он  будет такой.

   1. Строим график функции y=(f). Пусть он будет выглядеть так:
   2. Теперь, находим  участки, которые ниже оси Ox, и строим кривые симметричные найденным относительно оси Ox. В итоге получим такой график:

   Пример 4: Построить график функции 

   1. Строим график функции y=x-2.
   2. Теперь  на этом графике все что до 2 находится  ниже оси Ox, то есть эту часть мы симметрично отразим относительно оси Ox и получим такой график:

   Как и ранее график можно строить  совокупностью функций.

   Для данного примера  совокупность будет  выглядеть так: 
   

   3. График  функции 

   Данный  график будет строиться на основе графиков функций y=f(x), y= и y=.

   Алгоритм  построения не меняется, только несколько  увеличивается. Вначале следует, как  и ранее построить график функции  y=f(x), для . Затем строим график функции y=f(-x) для x>0. Либо можно просто симметрично отразить построенный график функции относительно оси Oy, так как функция будет четной.

   Теперь  осталось только симметрично относительно оси Ox отразить те участки графика которые находятся ниже оси Ox.

    
   

   Пример 5: Построить график функции 

   1 График  функции     2 График функции         3 График функции

          y=1-x, x                                   

   4.   Решение уравнений содержащий модуль с помощью определения и свойств модуля.

   При решении уравнений можно использовать непосредственно определение модуля и его свойства. Суть решения заключается  в раскрытии модуля, то есть выведении  аргумента из под знака модуля при помощи его определения.

   Вот самый простой пример решения  задачи при помощи определения. 
   

   Воспользуемся определением модуля и рассмотрим два  случая:

   1. x<0, следовательно. Подставим это в наше уравнение. Получим . Корнями донного уравнения будут:
   2. x 0, следовательно. Подставим это в наше уравнение. Получим .

   Корнями донного  уравнения будут:

   Уравнения вида решается при помощи определения, составлением совокупности двух систем: 
   

   Уравнение из предыдущего  примера было решено именно с помощью  данной совокупности, так как мы можем представить это уравнение  так

   .

   Пример уравнения  при решении, которого используются свойства модуля.

   Решим такое  уравнение      

   Решение:  
    
    
    
   

   Данное уравнение  равносильно совокупности 
   

   Решая каждое уравнение  в отдельности, получим корни  исходного уравнения: -4; -2; 0. 
   

   5.  Метод интервалов.

   Метод интервалов заключается в построении на числовой оси интервалов, которые  будут отображать знаки уравнения  на промежутках.

   Этот  метод является менее трудоемким и более эффективным, так как  позволяет наглядно изобразить совокупность систем.

   В теории он выглядит так:

   Рассмотрим  уравнения вида т.е. уравнение представляет собой алгебраическую комбинацию двух и более модулей.

   Для решения  данного уравнения надо:

   1. Найти нули подмодульных выражений f(x)=0, g(x)=0 и т.д.
   2. Нанести полученные числа на координатную прямую и определить знак каждого подмодульного выражения на полученных промежутках.
   3. Раскрыть модули, используя определение, и решить полученные уравнения без модулей.
   4. Выбрать только те корни, которые принадлежат соответствующим промежуткам.

   Пример: решить уравнение .

   Решение. Приравняем каждое подмодульное выражение к  нулю и найдем из него x.

   ,

   ,

   ,

   На числовой оси получим такое разбиение.

                                            1                2              3

   Из рисунка  видно, что x будет принадлежать таким промежуткам:

   ,

   2)

   3)

   4) x.

   Теперь для  каждого из промежутков построим систему, в которой раскроем модуль в соответствии с промежутком.

   1. Так как x=1 входит в промежуток , то мы его будем учитывать в этом промежутке.  А корень x=2 внесем в промежуток и получим такой промежуток .

      Запишем ответ: .

      6.   Способ возведения в квадрат.

      Данный  способ заключается в возведении обеих частей уравнения в квадрат. Это можно сделать, если правая и  левая части находятся под  знаком модуля. Так как модуль всегда не отрицательное число, то в обеих  частях уравнения имеем не отрицательное  число, что и позволяет произвести возведение в квадрат.

      Пример: решить уравнение .

      Обе части уравнения не отрицательные  числа, то возведем в квадрат обе  части уравнения. Получим .

      Перенесем все в левую часть .

      Воспользуемся формулой разность квадратов  
      

      Упростим  .

      Найдем  корни x=0, x=-6, это и будет ответ.

      7.   Графический способ решения уравнений с модулем.

      Графический способ решения заключается в  построении графиков функций, входящий в уравнение. Корнями уравнения  будут точки пересечения графиков.

      Пример: решить уравнение  графическим способом.

      Вначале выделим из уравнения функции, графики  которых необходимо построить. Это  будут две функции содержащие модули.

      1. Для того чтобы построить график первой функции необходимо построить график функции y= а затем все что находится ниже оси Ox симметрично относительно оси Ox отобразить выше этой оси.

      Получим такой  график.

      2. График  функции  будет представлять график функции , сдвинутый на a и перевернутый из-за минуса. Таких графико можно построить много, но нам нужны только те, которые пересекутся с графиком первой функции. Поэтому построим несколько из возможных и посмотрим которые нам подойдут.

      Из  рисунка видно, что у нас получилось только две точки пересечения. Это  при a=0 x=0  и при a=1 x=1. При остальных значениях a уравнение не имеет решений.

      Список литературы.

      1. И. И. Гайдуков «Абсолютная величина», Москва Просвещение, 1964 г.
      2. Ю.Н.Макаров,  Н.Г.  Миндюк «Дополнительные  главы  к  школьному учебнику», Москва Просвещение, 1997г.
      3. С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
      4. И.А.  Баранов  и  др.  Математика  для  подготовительных  курсов техникумов. Москва, Наука,1982 г. 
      5. Математика.   Практикум  для  абитуриентов  и  старшеклассников. Новосибирск,  НГУ, 1998 г.
      6. В.Н.  Литвиненко,  А.Г.  Мордкович Практикум по  решению математических задач. Москва, Просвещение 1984 г. 
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      

      Приложение.

      №1  Решить уравнение 

      Рассмотрим два  случая.

        
      

      Ответ .

      №2  Решить уравнение 

      Для решения  воспользуемся методом интервалов. На координатной прямой построим корень подмодульного выражения. Корень равен 3, получим такой рисунок.

                                 X<3                                                   3                                      
      

      Теперь решим  уравнение для обоих случаев  в отдельности.

      1)

      .

      ,

      ,

      ,

       не подходит, так как x,

      .

      x<3

      ,

      ,

      ,

      .

      Ответ . 
      

      № 3 Решить неравенство 

      Если y

      Если 

      Для y, или y>x-5

      Для

      Ответ в данной задаче лучше выразить графически.  Данному неравенству удовлетворяют  внутренние точки квадрата, ограниченного  прямыми:  y=x+1, y=5-x, y=-x-1 и y=x-5.

      Так будет выглядеть  данный квадрат.

       
      

      № 4 Решить систему уравнений: 
      

      Первое  уравнение приводит к совокупности двух уравнений: 
      

      Анализ  второго уравнения приводит к  совокупности четырех уравнений  по промежуткам определения.

      По виду уравнения легко видно, что  и ,  откуда

      Для имеем: 
      

      Для имеем: 
      

      Решению подлежит восемь систем линейных уравнений:

      Система (1;I)

      Система (1; II)

      Система (1; III)

      Система (1;IV)

      Система (2;I)

      Система (2;II)

      Система (2;III)

      Система (2;IV)

      Ответ:

      ,

      ,

      . 
       
      

      № 5 Построить  график функции 

      Для строим график функции

      Теперь  симметрично относительно оси Oy отразим график функции, получим:

      № 6 Построить  график функции 

      Строим  график функции 

      Теперь  симметрично оси Ox отразим все, что находится ниже этой оси.

      № 7 построить  график функции 

      Построим  график функции 

      Отразим симметрично оси Oy График данной функции

      Все, что ниже оси Ox отразим симметрично этой оси

       
      

      № 8 Решить уравнение .

      Уравнение равносильно системе: 
      

      № 9 Решить уравнение  графическим способом

      Построим  графики функций

      y=

      y=x-1

      Точка пересечения этих графиков x=, это и есть ответ задачи. 
      

      № 10

      Решить  уравнение 

      Решение: В отличие от первого уравнения  в правой части данного уравнения  содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение  при условии, что  В этом случае равенство возможно, если значения выражений 3х – 9 и 2х + 5 либо одинаковы, либо противоположны.

      3х –  9 = 2х + 5            или           3х  – 9 = - (2х + 5)

      х = 14                                            5х = 4

                                                             х = 0,8

      Проверка:

      х = 14       2*14 + 5      - верно

      х = 0,8      2*0,8 + 5     - верно

      Ответ: 0,8; 14.  

      № 11

      Решить  неравенство 

      Решение:                                   

      С помощью  равносильного перехода заменим  неравенство совокупностью двух неравенств                          2х – 4 <  – 10

                                                          2х – 4 > 10 

                                                            2х < - 6

                                                            2х > 14

                                                              х < - 3

                                                              х > 7

      Изобразим решение графически и запишем  ответ

                                         -3                                                       7                           х

        

      Ответ:

      № 12 Укажите  наибольшее целое решение неравенства 

      Решение:            . Пользуясь равносильным переходом, запишем совокупность двух неравенств

                                             

                                            

      Решим каждое неравенство в отдельности  и найдем объединение полученных решений.

       
      

            ,      ,        . Найдем пересечение двух промежутков. 
      

                                         -1                                                       0                           х

        

      Решений нет.

      ,         ,     ,       

      Объединением  этих двух неравенств будет являться  интервал

       
      

       
      Ответ:  
       
       
      

      № 13

      Решить  неравенство   

      Решение:

      Пусть

      Тогда

      Решая нервенство методом интервалов, получим  графическую иллюстрацию

                                              +                                –                               + 

                                                          -1                                                  у 
      

      Вернемся  к замене

      Учитывая, что данное неравенство равносильно системе неравенств

      Ответ: .

      № 14

      Решить  систему уравнений 

      Решение:

      Подставив значение из второго уравнения в первое, получим уравнение с модулем относительно у:

       или 

      у = 2;  9 – 4*2 ≥ 0 – верно 

      у = 8/3; 9 – 4*8/3 ≥ 0 – неверно 

      Подставив значение у = 2 в первое уравнение, получим  уравнение 

      Корнями уравнения являются числа 3 и -5.

      Решениями системы являются пары  чисел (3;2) и (- 5;2).

      Ответ: (3;2), (-5;2)

      № 15

      Решить  систему уравнений .

      Решение:

      Заметим, что правые части обоих уравнений  равны, поэтому равны и правые части. Получаем равенство По свойству модулей 7.1., данное равенство выполняется при условии х*у ≥ 0. Произведение двух множителей неотрицательно, если множители одного знака, т.е.

       или 

      Решением  первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых  равна 1, например, (0;1), (0,1;0,9). Решением второй системы является любая пара неположительных  чисел, сумма которых равна – 1, например, (-0,2; -0,8).

      Графически  решение выглядит таким образом:

       

                                                           

                                                             y

                                                            1 

                                                    -1                  1         х                      

                                                                                              
       
      

                                                       

         Ответ: (х; 1-х), при