Некоторые замечательные кривые

4) При   точки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях   

 

(линия 4; для нее  ). Наиболее удаленным от оси точкам L^'', N^''отвечает значение

. 

 

4.4 Свойства нормали

Нормаль улитки Паскаля в  ее точке M (рис.7) проходит через точку N основной окружности K, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.  

 

4.5 Построение  касательной

Чтобы провести касательную  к улитке Паскаля в ее точке M, соежиняем последнюю с полюсом O. Точку N основной окрудности K, диаметрально противополжную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MT   MN, получим искомую касательную. 

 

 
 

 

4.6 Задача

Дана улитка Паскаля с  полюсом в точке O. Написать уравнения  в прямоугольной и полярной системах координат.

Решение:

Пусть начало координат –  в полюсе O, ось OX направлена по лучу OB. Тогда уравнение в прямоугольной  системе координат будет иметь  вид:

.                                                      (1)

Строго говоря, это уравнение  представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O, который  может и не принадлежать определенному  выше геометрическому месту (такой  случай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6).

Уравнение в полярной системе (O – полюс, OX – полярная ось):

,                                                                              (2)

где   меняется от какого-либо значения   до  .

 
 

 

5. Лемниската Бернулли  

 

5.1 Определение

Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно  отрещка   равно  . Точки F₁, F₂ называются фокусамилемнискаты; прямая F₁F₂ – ее осью. 

 

5.2 Исторические  сведения

В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением  . Он отмечает сходство этой линии (рис.8) с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на n равных дуг при условии, что   или  или  , где m – любое целое положительное число.

Лемниската есть частный  вид линии Кассини. Однако, хотя линии  Кассини получили всеобщую известность  с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули  была уставновлена лишь в 1806 г. (итальянским  математиком Саладини).

5.3 Построение

Можно применять общий  способ построя линия Кассини, но нижеизложенный способ (К. Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис.) окружность радиуса   с центром в точке F₁ (или F₂). Проводим произвольную секущую OPQ и откладываем на этой прямой в обе стороны от точки O отрезки OM и OM₁, равные хорде PQ. Точка M опишет одну из петель лемнискаты, точка M₁ – другую.

5.4 Особенности  формы

Лемниската имеет две  оси симметрии: прямую F₁F₂ (OX) и прямую OY OX. Точка O – узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью OX углы  . Точки A₁,A₂ лемнискаты, наиболее удаленные от узла O (вершины лемнискаты), лежат на оси F₁F₂ на расстоянии   от узла.

5.5 Свойства нормали.

Подяоный радиус OM лемнискаты образует с нормалью MN угол  , вдвое больше полярного угла  :

.

 

Другими словами: угол   между осью OX и вектором NN^' внешней нормали лемнискаты в точке M равен утроенному полярному углу точки M:

.

5.6 Построение  касательной

Чтобы построить касательную  к лемнискате в ее точке M, проводим полярный радиус OM и строим  . Перпендикуляр MT к прямой MN есть искомая касательная.

5.7 Задача

Написать уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе  координат (O – серидина отрезка F₁F₂) и в полярной системе координат (O – полюс).

Решение:

Пусть точка O – начало координат ; ось OX направлена по F₁F₂. Тогда Уравнение в прямоугольной системе координат:

.

Если O – полюс, OX – полярная ось, то уравнение в полярной системе:

.

Угол   изменяется в промежутках   и  .

 
 

 

Заключение 

 

В данной работе мы рассмотрели  некоторые замечательные кривые, изучили их способы построения, особенности  формы и задачи, связанные с  этими кривыми.

В параграфе 1 была рассмотрена  строфоида, особенности её формы, стереометрическое  образование и исторические сведения.

Во 2-м параграфе мы изучили  циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.

В параграфе 3 узнали метод  построения, особенности формы и  исторические сведения о кривой, называемой «Декартов лист».

В 4-м параграфе рассмотрели  улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы, свойства нормали  и построение касательной.

В параграфе 5 была изучена  лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности  формы, свойства нормали и построение касательной.

А также при помощи задач  узнали формулы кривых в прямоугольной  декартовой и полярной системах координат.

 

Используемая  литература: 

 

1. Маркушевич А.И., Замечательные  кривые, М., 1978 г., 48 стр. с ил.

2. Выгодский М.Я., Справочник  по высшей математике, М.: АСТ:  Астрель, 2008, 991 стр. с ил.

3. Атанасян Л.С. и Атанасян  В.А., Сборник задач по геометрии.  Учеб. пособие для студентов физ.-мат.  фак. пед. ин-тов. Ч. I, М., "Просвещение", 1973, 256 с.

4. Гурова А.Э. Замечательные  кривые вокруг нас. М, 1989

5. Маркушевич А.И. Замечательные  кривые. - М, 1978

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля