Область определения функции

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ ЯРОСЛАВСКОЙ ОБЛАСТИ

«ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ №5»

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

на тему:

 «ФУНКЦИИ»

 

 

 

 

 

Преподаватель:

Денисова Наталья Владимировна

Выполнил:

студент группы

221/222 ПМЭ 1 курса Пелевин Роман Андреевич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ярославль 2013

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1)Введние

2)Линейная функция

3)Квадратичная функция

4)Степенная функция

5)Показательная функция (экспонента)

6)Логарифмическая функция

7)Тригонометрическая  функция 

-Функция синус

-Функция косинус

-Функция тангенс

-Функция котангенс

8)Обратная функция

-Arcsin x

-Arctg x

           9)Список литературы

 

Введение.

К элементарным функциям относятся  рациональные, степенные, показательная  и логарифмические функции, а  также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная  х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения  функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

 

Линейная функция.

 

 Это функция вида  . Число называется угловым коэффициентом, а число  - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент  равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси .

График линейной функции - прямая

 

 

1. Область определения – все действительные числа.
2. Область значений – все действительные числа.
3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4. Линейная функция ни четная ни нечетная.
5. Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k<0.

6. Функция непрерывна.

 

 

Квадратичная функция.

 

 Это функция вида  ,

Графиком  квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .

Парабола 

( )

 

В общем случае вершина лежит  в точке  . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.

.Парабола с вершиной в точке 

( )

 

1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.

3.          Рис. 4                                                   Рис. 5

 

4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5. Функция имеет единственную критическую точку
6. x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
1. Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
2. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b²-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
7. Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b²-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b²-4ac)/4a)].
8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b²-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b²-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b²-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
1. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
2. График функции
9. f(x)=ax²+bx+c
10. (или f(x)=a(x+b/(2a))²-(b²-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x² следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b²-4ac)/(4a))).

 

Степенная функция.

 

 Это функция вида  , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число  - чётное, то и функция  - чётная (то есть при всех ); если число  - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при 

 

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если  - чётное число, то и - чётная функция; если  - нечётное число, то и  - нечётная функция.

График степенной функции при 

 

Снова заметим, что  при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если  - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при 

 

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции  при 

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x^a)¢= a^.x^a-1.

Степенная функция x^a монотонно возрастает во всей области определения при a<0.

 

                                                   

  0          1                    x                    0           1                    x                                

 

 

7. При  a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз.

 

Показательная функция (экспонента).

 

Это функция вида ( , ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

.График показательной  функции при 

 

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной  функции при 

 

1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a^x)¢ =a^xlna

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

 

Логарифмическая функция.

 

 Это функция вида  ( , ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

График логарифмической  функции при 

 

При график получается такой:

График логарифмической  функции при 

 

1. Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

 

(log_a x)¢ = 1/(x ln a).

 

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5. При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства

 

log_a 1 = 0, log_a a =1.

6. При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

 

Тригонометрические функции

 

Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a.

 

Функция синус.

  . Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:

График функции                            

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       sin (х+2p)= sin х.

5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,

    sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z.

7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х)¢ =cos x.

8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

      и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.

9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

 

Функция косинус.

 

  . Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:

1. График функции  Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.
4. Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       cos (х+2p)= cos х.

5. Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z<span clas