Операции над матрицами

Соединим точки О  и С отрезком ОС. Тогда, с одной  стороны (см. рис. 9),

(а + b) + с = (OA^> + AB^>) + BC^> = OB^> + BC^>= OC^>  

и, с другой стороны (см. рис. 10),

а + (b + с) = OA^> + (AB^>+ BC^>) = OA^> + AC^> = OC^>,

что и доказывает равенство (2).

Из риc. 8 видно, что  сумма векторов а = OA^>  и   b = OB^>  равна  направленной диагонали  OC^> параллелограмма  ОАСВ,  построенного  на  отрезках  ОА   и  ОВ, т.е.

OA^> + OB^> = OC^>.

Это равенство   называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без  скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.

Если требуется найти  сумму трех или большего числа  векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.

Выберем некоторую точку  О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что OA^> = а,  
затем построим отрезок   АВ  такой, что AB^> = b, и т. д.

Построение продолжается до тех   пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок OD^>, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

 

§ 17. Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в  положение   С   (рис.   52)    вычисляется   по   формуле

Эта   формула   вектору   силы   F  и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и BC^>. Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением  двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению

а • b = | а | •  | b | cos 

.                       (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид  а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a². Очевидно, что a² = а • a = |а|².

Как известно (см. § 16), проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

np_ab = | b | cos 

.                           (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

а • b = | а | np_ab.                           (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула а • b = | b | np_ba.

 

§ 18. Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное  умножение векторов обладает  переместительным свойством:

а • b = b • а.                                 (1)

Так как

 =     и   | а | • | b | =  | b |  • | а |,   

то

а • b  = | а | • | b | cos 

 = | b |  • | а | cos   = b • а.

Если а = 0 или b  = 0, то по определению скалярного произведения а • b  = 0 и b • а = 0, т. е. а • b = b • а

2.  Скалярное умножение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число:

(ka) • b = k (а • b).                           (2)

Обозначим   = φ и   = φ₁.

Если k > 0, то   =  , т. е. φ = φ₁ и тогда

(ka) • b = | kа | • | b |  cos φ₁ = k | а | • | b |  cos φ = k (а • b).

Если k < 0, то ka   a и φ₁ = 180° — φ, и тогда

(ka) • b  = | kа | • | b |  cos φ₁ = | k | • | а | • | b | cos (180° — φ) = 
= — k • | а | • | b |(— cos φ) =

=  k | а | • | b |  cos φ = k (а • b)

Если k = 0 или a = 0, или b = 0, то

(ka) • b = 0 и k (а • b) = 0, и поэтому (ka) • b =k (а • b).

3.  Скалярное умножение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов

а •  (b + с) = а • b + а • c.                    (3)

Если a = 0, то свойство (3) очевидно.

Пусть a =/= 0. Тогда

а •  (b + с) = | a | • np_a(b + c) = | a | •  (np_ab + np_ac) = 
= | a | •  np_ab + | a | •  np_ac = а • b + а • c.

В ходе доказательства были использованы известные свойства проекции вектора на ось (§ 16).

Заметим, что из (1) и (3) следует формула

(a + b) • c = a • c + b • c.                                 (4)

Сходство свойств скалярного произведения векторов со свойствами произведения действительных чисел позволяет легко производить вычисления и преобразования со скалярными произведениями.

 

1.3. Линейная  зависимость и линейная независимость  векторов

 

Набор векторов   называется системой векторов.

 

Система из   векторов   называется линейно зависимой, если существуют такие числа  , не все равные нулю одновременно, что

 

 

Система из   векторов   называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при  , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная.

 

Замечания 1.2.

 

1. Один вектор   тоже образует систему: при   - линейно зависимую, а при   - линейно независимую.

 

2. Любая часть  системы векторов называется подсистемой.

 

 

 

Свойства линейно  зависимых и линейно независимых  векторов

 

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

. 

2. Если в системе  векторов имеется два равных  вектора, то она линейно зависима.

 

3. Если в системе  векторов имеется два пропорциональных  вектора  , то она линейно зависима.

 

4. Система из   векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

 

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

 

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую  подсистему, линейно зависима.

 

7. Если система  векторов   линейно независима, а после присоединения к ней вектора   оказывается линейно зависимой, то вектор   можно разложить по векторам  , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.