Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА  МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ  И ТЕХНИКОЙ 

Математика (греч. matein - знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного  мира.

“Чистая математика имеет  своим объектом пространственные формы  и количественные отношения действительного  мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную  форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать  эти формы и отношения в  чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее  в стороне как нечто безразличное” (Э н г е л ь с Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной  связи с запросами техники  и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше определение  М. наполняется всё более богатым  содержанием.

Математика и другие науки. Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально  область применения математич. метода не ограничена: все виды движения материи  могут изучаться математически. Однако роль и значение математич. метода в различных случаях различны. Никакая определенная математич. схема  не исчерпывает всей конкретности действительных явлении, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в  борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений  и логич. анализа этой формы, с  другой стороны, вскрытия моментов, по укладывающихся в установленные  формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности  изучения какого-либо круга явлений  состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг  исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых  сторон явлений, то математич. метод  отступает на задний план; в этом случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математич. схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений  охватывают эти явления с большой  точностью и полнотой, но зато уже  в пределах этих зафиксированных  форм возникают достаточно трудные  и сложные проблемы, требующие  специального математич. исследования, в частности создания специальной  символич. записи и специального алгоритма  для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич. метода.

Типичным примером полного  господства математич. метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень  простое математич. выражение закон  всемирного тяготения почти полностью  определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной  нам точности наблюдений, пренебрежение  формой и размерами небесных тел  — замена их “материальными точками”. Но решение возникающей здесь  задачи движения п материальных точек  под действием сил тяготения  уже в случае n==3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью  осуществляется в действительности: логически очень простая схема  хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются  в извлечении математических следствий  из принятой схемы.

С переходом от механики к  физике ещё не происходит заметного  уменьшения роли математич. метода, однако значительно возрастают трудности  его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математич. аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математич. теории, а в выборе предпосылок  для математич. обработки и вистолковании  результатов, полученных математич. путём.

На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность  математич. метода охватывать и самый  процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно  новую. Классич. образцом может служить  соотношение между макроскопич. теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистич. теорией диффузии, исходящей  из рассмотрения движения отдельных  частиц диффундирующего вещества. В  первой теории плотность диффундирующего  вещества удовлетворяет определённому  дифференциальному уравнению с  частными производными. К нахождению решений этого дифференциального  уравнения при надлежащих краевых  и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся  к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью  передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для  нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для  малых частей пространства (вмещающих  лишь небольшое число частиц диффундирующего  вещества) само понятие плотности  теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопич. случайных перемещений  диффундирующих частиц под действием  молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопич. перемещений нам  неизвестны. Однако математич. теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок  о малости перемещений за малые  промежутки и независимости перемещений  частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения  вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных  частиц диффундирующего вещества очень  велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости  перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным  закономерностям для перемещения  диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная  теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень  часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего  вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных  явлений.

В биологич. науках математич. метод играет более подчинённую  роль. В ещё большей степени, чем  в биологии, математич. метод уступает своё место непосредственному анализу  явлений во всей их конкретной сложности  в социальных и гуманитарных науках. Применение математич. метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл. обр. через кибернетику. Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной науки  — математич. статистики. В окончательном  же анализе социальных явлений моменты  качественного своеобразия каждого  историч. этапа приобретают столь  доминирующее положение, что математич. метод часто отступает на задний план.

Математика в техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых  математич. методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём  развитии на запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к технич. проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых  общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич. работами; изучение многих новых типов  дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с  решения технич. проблем; операторные  методы решения дифференциальных уравнений  были развиты в связи с электротехникой  и т. д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей —  теория информации. Задачи синтеза  управляющих систем привели к  развитию новых разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов  приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком  на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений  приобретает большую остроту  с усложнением технич. проблем. В  связи с возможностями, к-рые открыли  ЭВМ для решения практич. задач, всё большее значение приобретают  численные методы. Высокий уровень  теоретич. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная М. сыграла большую  роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая проблемы использования  атомной энергии и космич. исследования.