Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами ряда своих учеников». В сентябре 1783 году учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем (1740 - 1784 гг.) о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался  от кровоизлияния в мозг.

Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер.

 

2.1 Главные понятия, созданные Эйлером

 

Главные понятия, созданные Эйлером, это точки Эйлера, прямая Эйлера и окружность Эйлера в треугольнике; теорема Эйлера для многогранников, метод ломаных Эйлера (один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет), Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера), углы Эйлера (они используются главным образом в механике при описании движения тел), и, разумеется, число Эйлера, то есть число e. Именно Эйлер определил число е как бесконечную дробь

 

Глава 2. Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность

 

2.1 Определение числа e

 

Рассмотрим числовую последовательность (x_n), заданную формулой

.

Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность

(y_n), заданную формулой .

Докажем, что (y_n) - убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (a_n) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно,

;

.

Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем:

.

Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим

.

Таким образом,

,

а значит

.

Теперь докажем ограниченность снизу (y_n), для этого воспользуемся неравенством Бернулли:

.

Поскольку (y_n) - ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. И, наконец, докажем сходимость последовательности

:

Предел последовательности

(x_n)=

и называют числом e, то есть числом Эйлера.

 

2.2 Приближенное вычисление значения числа e

 

На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение. Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений) x_n=

применить формулу бинома, то получим:

Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство:

.Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

.

Это неравенство имеет место при любом натуральном k.Таким образом, имеем x_n<y_n≤e, отсюда видно, что и

.

При этом говорят, что y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда

,

и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а так же говорят, что число e разлагается в этот ряд, то

.

Оценим степень близости y_n к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением y_n+m  (где m=1,2,3,..), следующим за y_n, и самим y_n. Имеем

Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство:

,

которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем :

.

Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта y_n+m будет принимать последовательность значений y_n+1, y_n+2, y_n+2, y_n+3,…, y_n+m,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому

,

а так как

,

то

.

Если через и обозначить отношение разности к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать

.

Заменяя здесь y_n его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e:

.

Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/10⁷,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность. Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже

0,000 000 03, поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,10⁸ (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/10⁸. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами и. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и

2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 8 0, 000 000 1

Таким образом, с помощью формулы

можно вычислить приближенное значение e с точностью до любого требуемого знака.

 

2.3 Трансцендентность числа e

 

Все вещественные (а так же вообще комплексные) числа распределяются на два класса - алгебраические и трансцендентные. Число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называется трансцендентным.

Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: число

служит корнем уравнения 17х+11=0, а число - корнем уравнения и т. д.

Эрмит установил, что е является трансцендентным числом. Приведем доказательство этой теоремы.

Допустим, что е служит корнем уравнения

,                                                                          (1)

где все коэффициенты - целые числа .

Пусть u=f(x) будет произвольный многочлен n-й степени, а

v=

;

тогда,  аесли взять a=0, эта формула  примет вид

,

так как .  Полагая краткости

имеем отсюда

.

  Возьмем здесь последовательно b=0, 1, 2…,m;  умножая получаемые равенства соответственно на   и складывая в силу (1) , придем к окончательному равенству

,                              (2)

которое , напомним  это, должно иметь место для любого многочлена f(x). Теперь мы покажем , что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство (2) стало невозможным; этим теорема и будет доказана.

  Положим, с этой целью,

;

где р- простое число, большее m и | |. Производные этого многочлена  порядка р  и выше имеют целые  коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чисел делится на р!. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют  целые значения, кратные р . Так как при x=1, 2, …, m многочлен f(x) и его первые p-1 производных обращаются в 0, то F(1), F(2), …, F(m)  будут целыми числами,  кратными р.

  Иначе обстоит дело c F(0). При x=0 многочлен f(x) обращается в 0 лишь c p-2 своими  производными, так что    

Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные p; но

,

а с ним и F(0), на p не делиться. Так как при сделанных относительно р предположениях и не делиться на р, то приходим к заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве (2) справа, есть целое число, не делящееся на р и, следовательно, заведомо не равное нулю.

  Обратимся   ко второй сумме в (2). В промежутке  [0,m] , очевидно,

.

Поэтому

<

и, если сумму обозначить через С,

 

< =

   Но мы знаем  что последний множитель p→∞  при     стремится  к 0,  так что вторая сумма в (2), при достаточно большом р, будет  по абсолютной  величине меньше первой. В таком случае  их сумма не может равняться  0,  и мы пришли к противоречию.

 

Глава 3. Экспоненциальная функция (экспонента)

 

 

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = e^x оказывается настолько важной, что, в отличие от y = a^x  (где a≠e), получила особое название - экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Как и y = a^x  (где a≠e) при a>1, функция y=e^x монотонно возрастает и не обращается в нуль на всем множестве действительных чисел (приложение 3). Кроме того, существует ряд теорем, облегчающих работу с заданной функцией. Так, например, Если x>0, то для любого натурального n выполняются неравенства

(1)

(2)

Докажем неравенство (1) методом математической индукции.

Проверим справедливость заданного утверждения при n=1. Имеем:

= 1 + х

- истинно, поскольку

y = 1+x

- это касательная к графику функции

y = e^x

в точке с абсциссой x₀=1; а так как функция

y = e^x

обращена выпуклостью вниз на множестве всех действительных чисел, то для любого x из множества всех действительных чисел выполняется неравенство

  .

Предположим, что неравенство (1) верно при n=k, то есть, предположим, что

.

Докажем его справедливость при n = k+1, то есть докажем, что

.

Для этого образуем вспомогательную функцию ц - разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

При х=0 эта функция обращается в нуль: ц(х)=0. Её производная имеет вид:

.

По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку ц(0)=0, то для всех х>0 имеем ц(х)>ц(0)=0, что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость при n = k+1 неравенства

,

в предположении его справедливости при n = k, а так как оно справедливо и при n = 1, то оно справедливо для всех натуральных n.

Теперь докажем неравенство (2) методом математической индукции.

Проверим его справедливость при n = 1, имеем:

- истинно.

Предположим верность данного неравенства при n = k, то есть, предположим, что

.

Докажем справедливость этого неравенства при n = k+1, то есть докажем, что

,

для этого образуем вспомогательную функцию ц - разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

.

По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку ц(0)=0, то для всех х>0 имеем ц(х)>ц(0)= 0, а что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость неравенства

при n=k+1  в предположении его справедливости при  n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n