Освещение пространства

Верный способ избежать превращения Флатландии в империю — поссорить захватчиков. Они разделятся на враждующие группировки и забудут про захват территорий. Этот древний принцип называется «разделяй и властвуй». Из-за чего могут поссориться захватчики? Ну, конечно, из-за территорий: если две • группировки претендуют на одну и ту же территорию, ссоры не избежать. Школьник наших дней не ощущает недостатка в примерах.

Итак, принцип «разделяй  и властвуй» состоит в том, что нужно разбить множество точек A1, А2,..., A_k на два подмножества так, чтобы их выпуклые оболочки пересекались. (Тогда захватчики из обоих подмножеств будут претендовать на точки из пересечения.) Осуществимость принципа «разделяй и властвуй» первым доказал математик Радон, вот теорема его имени:

Каждое множество на плоскости (в пространстве), если оно  содержит не менее четырех (пяти) точек, можно разбить на два непересекающихся множества, выпуклые оболочки которых пересекаются.

Проницательный школьник, конечно, заметил справедливость теоремы Радона, выполняя упражнение 1. Доказательство достаточно провести для четырех (пяти) точек, а остальные точки присоединить к любому из двух полученных множеств. Для четырех точек на плоскости доказательство видно из рисунка 5. Флатландия спасена.

Займемся пространством. Рассмотрим в нем точки А1,..., А5. Если какието четыре из них лежат в одной плоскости, то задача сводится к теореме Радона для плоскости, поэтому допустим, что А1,..., А4 в одной плоскости не лежат. Тогда conv (А1,..., А4) — тетраэдр с вершинами в них. Если он содержит А₅, то {А1, ..., А4) и {А₅} — нужное разбиение Предположим теперь, что А₅ не принадлежит тетраэдру. Плоскость, проходящая через три вершины тетраэдра, делит пространство на два полупространства,

одно из которых содержит тетраэдр. Тетраэдр — пересечение  четырех таких полупространств, следовательно, Л? не принадлежит какому-то из них — например, определяемому точками А₁ А₂ и А₃. Тогда отрезок A₄A₅ переcекает эту плоскость в некоторой точке В. Применив к точкам A1, A2, A3, В теорему Радона для плоскости, получим два множества, выпуклые оболочки которых пересекаются. Заменив точку В в одном из них на пару точек А4 и А5, получим требуемое разбиение.

Принцип «разделяй и властвуй» скоро нам понадобится, а тем временем мы узнали о выпуклости достаточно, чтобы заняться освещением пространства. Осталось только разобраться с тем, что такое конус.

Конус — это шаг  от малого к большому

Бывалый школьник не раз  видел пучок света от отдаленного прожектора. Поэтому он уже догадался, что математическое определение конуса таково:

Кону сом (бесконечным) называется множество, состоящее из точек лучей, выходящих из одной  и той же точки, называемой вершиной, конуса.

Само определение подсказывает, как построить примеры конусов: нужно взять лучи, выходящие из точки О и проходящие через какое-либо множество М. (Говорят, что такой конус порожден множеством М.) Если в качестве М взять круг в пространстве, не содержащий О, то получится круговой конус, а если многоугольник — то многогранный. Если лучи заменить отрезками, то получатся соответственно «школьный» круговой конус и пирамида. А что получится, если О лежит внутри круга? А если на его граничной окружности?

«Маленькое» множество может породить «большой» конус. Вот важный пример: если точка О лежит строго внутри тетраэдра Т (т. е. не на его границе), то все пространство — это конус, порожденный границей тетраэдра Т. «Маленький» тетраэдр породил бесконечное пространство.

Можно сконструировать  несметное количество конусов, воспользовавшись следующими свойствами конусов с общей вершиной: непустое пересечение таких конусов — конус, объединение — тоже конус.

Дочитавший до этого  места школьник знает, что выпуклый конус — это конус, являющийся выпуклым множеством. Например, если конус порожден выпуклым множеством, то он тоже выпуклый. Заметим при этом, что если у выпуклого конуса, не содержащего противоположно направленных лучей, удалить его вершину, то оставшееся множество будет по-прежнему выпукло.