Основные правила дифференцирования, доказательство и примеры

Основные правила дифференцирования, доказательство и примеры.

 При решении задач дифференцирования  приходится искать производные  функций различных классов. В  этом реферате рассмотрены основные правила дифференцирования, которые постоянно используются при нахождении производных. Все эти правила доказаны на основе определения производной функции.

 При доказательстве правил  дифференцирования будем считать  функции f(x) и g(x) дифференцируемыми  на некотором промежутке X.

 То есть, для любого    справедливо , где  - приращения соответствующих функций.

 В другой записи 

К основным правилам дифференцирования  относят:

• вынесение постоянного множителя за знак производной
• производная суммы, производная разности
• производная произведения функций
• производная частного двух функций (производная дроби)

Вынесение постоянного множителя за знак производной

Докажем формулу  . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно  выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого  правила дифференцирования завершено.

Пример:

 Найти производную функции

Решение

 По свойствам логарифмической  функции можно перейти к записи

Осталось вспомнить производную  логарифмической функции и вынести  постоянный множитель:

 

 

Пример

 Найти производную функции

Решение

 Преобразуем исходную функцию

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

 

 

Производная суммы, производная разности

Для доказательства второго правила  дифференцирования  воспользуемся  определением производной и свойством  предела непрерывной функции.

 

 

 

 

 

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

 

 

Пример

 Найти производную функции

Решение

 Упростим вид исходной функции

Используем правило производной  суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что  постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Производная произведения функций

Докажем правило дифференцирования  произведения двух функций

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что

(приращение функции стремиться  к нулю при приращении аргумента,  стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

Пример

 Продифференцировать функцию

Решение

 В данном примере  применяем правило производной произведения:

 

Обращаемся к таблице производных  основных элементарных функций и  получаем ответ:

 

 

 

Пример

 Найти производную функции 

Решение

 В этом примере Следовательно,

Пример

 Выполнить дифференцирование  функции

Решение

 Будем исходить из правила  дифференцирования произведения  двух функций. В качестве функции  f(x) будем считать произведение (1+x)sinx, а в качестве g(x) возьмем lnx:

Для нахождения  вновь применяем  правило производной произведения:

Используем правило производной  суммы и таблицу производных:

Подставляем полученный результат:

Пример

 Найти производную функции

Решение

 Функция представляет собой  разность выражений   и , поэтому

В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму  выражению применяем правило  дифференцирования произведения:

Производная частного двух функций (производная  дроби)

Докажем правило дифференцирования  частного двух функций (дроби)

 Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 Выполнить дифференцирование  функции

Решение

 Исходная функция представляет  собой отношение двух выражений  sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования  дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования  суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все  правила в одном примере.

Пример

 Найти производную функции  

где a – положительное действительное число.

Решение

А теперь по порядку

 

Первое слагаемое

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе: