Первичная обработка результатов наблюдения методом математической статистики

ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНЫЙ  ПРАКТИКУМ

 

ПО

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

 

СТАТИСТИКЕ

 

методические указания

и варианты индивидуальных заданий

для выполнения расчётно-графических

работ

 

 

 

 

 

часть 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Тюмень 2007

 

 

 

Предисловие

 

         В сборнике содержатся методические указания и варианты лабораторной работы по теме: «Первичная обработка результатов наблюдения методом математической    статистики. Оценка параметров «нормального» распределения».

                                                                                     

   Цель выполнения лабораторной работы – привить студентам навыки самостоятельной обработки эмпирически полученных данных с помощью основных методов математической статистики.

    Методика сборника обеспечивает самостоятельное выполнение расчётно-графической работы.

  Описание лабораторной работы включает краткие теоретические сведения и план выполнения работ:

• алгоритм вычисления;
• образец выполнения работы;
• контрольные вопросы;
• варианты заданий.

    Лабораторный практикум содержит 50 вариантов и гарантирует индивидуальность его выполнения.

    Наличие алгоритма позволяет все расчёты  производить как в «ручном» режиме так и с помощью ЭВМ.

Рекомендуется для инженерных, экономических и агрономических специальностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №1

 

Первичная обработка  результатов наблюдения методом  математической статистики

 

Цель работы: Привить навыки первичной обработки эмпирических данных с помощью методов  математической статистики.

Содержание работы:

1. Группировка данных в вариационный ряд и представление в виде эмпирической функции распределения.

2. Графическое изображение вариационного ряда и эмпирической функции распределения.

3. Вычисление основных числовых характеристик выборочной совокупности.

4. Определение границ истинных значений числовых характеристик, изучаемой случайной величины с заданной надёжностью.

5. Содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.

Форма отчета:

1. Представление работы по указанному в методике образцу.

2. Самостоятельное изучение теоретического материала с помощью предлагаемых контрольных вопросов.

3. Устное собеседование по работе, сдача зачета.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.1. Краткие теоретические сведения и план

выполнения работы.

 

Изучение свойств случайных величин методом математической статистики основано на первичной обработке результатов наблюдений, выраженных в числовой форме.

Целью первичной обработки  является представление первичной числовой информации в более обозримой, сжатой форме, а также получение сведений об основных закономерностях изучаемой совокупности случайных величин.

В математической статистике различают генеральную совокупность и выборочную.

Под генеральной совокупностью понимается все мыслимое множество случайных объектов, обладающих общностью некоторого, изучаемого в данном исследовании, признака. Это множество, как правило, счетное.

Выборочная совокупность (выборка)- эта часть генеральной  совокупности, которая фактически изучается.

Для того, чтобы по выборке  можно было достаточно уверенно судить о свойствах генеральной совокупности она должна быть репрезентативной, т.е. достаточной по численности, случайной по отбору с соблюдением равной возможности каждого элемента генеральной совокупности попасть в выборку.

Теоретической основой  выборочного метода является теорема  Чебышева.

Теорема: с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений, ограниченной дисперсии генеральной совокупности попарно независимых случайных величин, разность между средним арифметическим и средним арифметическим их математических ожиданий будет сколь угодно малой, т.е.

в частности  ,

где - средняя для выборочной совокупности;

       -средняя для генеральной совокупности;

       -как угодно малое положительное число.

Итоги эмпирических наблюдений представляют собой простой статистический ряд- таблицу числовых значений изучаемой случайной величины. Известно, что, если находить числовые характеристики, предварительно сгруппировав полученные данные, то их значения будут ближе подходить к истинным значениям аналогичных характеристик генеральной совокупности.

Первичная обработка результатов  наблюдений состоит из нескольких этапов. Рассмотрим содержание каждого из них.

Этап I.  Группировка данных в вариационный ряд и представление его в виде функции распределения.

Для того, чтобы статистические данные представить в виде вариационного ряда с равноотстоящими вариантами необходимо:

1.В исходной таблице эмпирических данных найти наименьшее ( ) и наибольшее ( ) значения.

2.Определить размах варьирования:

3. Наметить число интервалов  группировки. Имея в виду, что  выделением большого числа групп  можно затушевать общую картину  распределения, малое же число  не позволит выявить характерную  особенность изучаемой случайной величины. Исходя из опыта рекомендуется выделять от 5 до 20 групп так, чтобы каждая группа была достаточно наполнена значениями вариант. Можно также воспользоваться формулами:

           где  s-число групп, n-объем выборки.

        4.  Определить длину интервала

                      .

Если вычисленное отношение – число иррациональное, то его округляют до удобного целого значения.

5. Записать интервалы группировок и расположить их в порядке возрастания границ

      ,  ,………., ,

где - нижняя граница первого интервала. За берется удобное “круглое”  число не большее , верхняя граница последнего интервала должна быть не меньше .Это делается для того, чтобы интервалы содержали в себе исходные значения случайной величины.

6. Разнести исходные данные по интервалам группировок, т.е. подсчитать по исходной таблице число значений случайной величины, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему, либо только к последующему интервалу.

        

Записать интервальный ряд частот и относительных частот.

			…
			…
			…

 

7. От интервального ряда перейти  к дискретному. Для этого каждый  интервал заменить его средним значением, оставив частоты и относительные частоты без изменения.

      

			…
			…
			…

 

8. Записать эмпирическую функцию распределения.

                           

                                

где - число вариант, значения которых меньше чем ;

       n - число всех значений, объем выборки.

 

                                 

                             

         

                                       ………………………..

                           

 

F^*(x) определяет относительную частоту события (X<x).

 

Замечание №1.  Интервалы необязательно брать равными по длине. На участках, где значения располагаются гуще, удобнее брать более мелкие короткие интервалы, а там где реже - более крупный.

         Замечание №2. Появление “граничных” значений нежелательно, это ведет к смещению эмпирического распределения от его истинного положения на числовой оси влево, либо вправо, выбирая границы, регулирования длину интервала, следует этого избегать.

         Замечание №3  Если для некоторых значений получены “нулевые”, либо малые значения частот , то необходимо перегруппировать данные, укрупняя интервалы (увеличивая шаг ).

 

Этап II. Графическое изображения ряда и эмпирической функции распределения.

 

Графически интервальный вариационный ряд изображается либо в виде гистограммы частот – ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, основанием которых служат интервалы группировки, а высоты равны отношению частоты к длине интервала , либо в виде гистограммы относительных частот, когда высоты прямоугольников равны отношению относительной частоты к длине интервала группировки .

Дискретный вариационный ряд графически изображается в виде полигона частот или относительных  частот.

Полигон частот – это  ломаная линия, отрезки которой  соединяют точки с координатами ( ).

Полигон относительных  частот – это ломанная линия, отрезки  которой соединяются точками с координатами  ( ).

Эмпирическая функция распределения  графически изображается в виде линии, изменяющейся скачкообразно. На оси абсцисс откладывается значения интервалов, на оси ординат соответствующие им вероятности (значения функции), вычисляемые по формуле , где .

Скачки наблюдаются при переходе от одного интервала к другому.

Графическое изображение вариационных рядов и эмпирической функции распределения лучше уяснить на конкретном примере в разделе  “Образец выполнения задания”.

Этап III.    Вычисление числовых характеристик.

Вычисление числовых характеристик  осуществляются по следующим формулам:

 

1. Среднее арифметическое

.

2. Дисперсия вычисляется либо  по определению

либо по формуле  , где и - начальные эмпирические моменты первого и второго порядков.

 

3.    Среднее квадратическое  отклонение

.

4. Исправленная дисперсия

 

.

 

5. Исправленное среднее  квадратическое отклонение

.

 

6. Коэффициент асимметрии

      ,

где - центральный эмпирический момент третьего порядка, он вычисляется либо по определению

,

либо по формуле  

,

где    - начальные эмпирические моменты первого, второго и третьего порядков.

7. Коэффициент эксцесса

 ,

где - центральный эмпирический момент четвертого порядка. Он вычисляется либо по определению    

либо по формуле               ,

                                       

                                       ,          

8.Коэффициент вариации

 

                     ,