Поверхность второго порядка

Поверхности второго порядка

 

    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

      Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:                 

(1)

 

   Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

   Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

                                        (2)

Исследуем уравнения (2) при различных  значениях h.

1. Если > c (c>0), то  и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2. Если , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости касаются эллипсоида).
3. Если , то уравнения (2) можно представить в виде

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается  самый большой эллипс с полуосями и .

Аналогичная картина получается и  при пересечении данной поверхности  плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения  позволяют изобразить эллипсоид  как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

 

2.   Однополосный гиперболоид.

      Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

 

                        (3)

 

   Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

   Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

                                  и 

 

 

из которых следует, что в  сечениях получаются гиперболы.

   Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

                    или       (4)

 

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями     и  ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения  позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной  трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости  Oxy.

Величины  a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

 

3.  Двуполостный гиперболоид.

     Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

 

                           (5)

 

   Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

   Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

                               и  

из которых следует, что в  сечениях получаются гиперболы.

     Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

                                 или            (6)

из которых следует, что при >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями   и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются.

При     уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с)  (плоскости касаются данной поверхности).

При  уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

 

4. Эллиптический параболоид.

    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

  (7)

где p>0 и q>0.

   Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

   Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями  Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

                                            и

из которых следует, что в  сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного  параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

                                    или          (8)

из которых следует, что при плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким образом, рассмотренные сечения  позволяют изобразить эллиптический  параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

 

5. Гиперболический параболоид.

     Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

      (9)                

где p>0, q>0.

     Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

     Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

 

                                               (10)

из которых следует, что в  сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси  Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.

                                          

рассмотрим сечение данного  параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

                                               

из которых следует, что и  в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

                                        

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

Рассмотрим сечения параболоида  плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения

                         или

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

                               и

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

 

  6.  Конус второго порядка.

      Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

                           (11)

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности  плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

                                 

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

                            и

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также  получаются две пересекающиеся прямые

                                                    и

Рассмотрим сечения поверхности  плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим

                                             или

из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями   . При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cписок использованной лит-ры:

                                                         1.Шипачёв В.С.:”Высшая мат-ка”