Показательный закон распределения

§   . Показательный закон распределения

 

Определение. Непрерывная случайная величина  Х имеет показательный (экспоненциальный)  закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

 
где  λ > 0 - параметр распределения.

Функция распределения показательного закона имеет вид:

;

Графики плотности  f(x) и функции распределения  F(x):

   f(x)                                                                 F(x)

 

 

 

λ                                                                    1

 

 

 

0                                                      x             0                                                  x

 

Найдем вероятность попадания  случайной величины  Х, распределенной по показательному закону, в интервал  (a ; b ):

;

.

 

Найдем математическое ожидание и  дисперсию показательного распределения:

.

Интегрируя по частям, получим   .

.

Дважды интегрируя по частям, получим

.

 

Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, в физике, в теории надежности. Оно  используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.

Рассмотрим, например, непрерывную  случайную величину Т- длительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т, то есть   F(t) = P(T < t) , определяет вероятность отказа за время длительностью t.  И, значит, вероятность безотказной работы за время t  равна R(t) = P(T > t) = 1 – F(t).

Функция  R(t) называется  функцией надежности (то есть это функция, определяющая вероятность безотказной работы прибора за время длительностью t ).

Часто случайная величина  Т – длительность времени безотказной  работы прибора имеет показательное  распределение. Ее функция распределения имеет вид   . В этом случае функция надежности имеет вид и ее называют  показательным законом надежности.

Число λ – интенсивность отказов, то есть среднее  число отказов  в единицу времени.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью  t  не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени  t  при заданной интенсивности отказов  λ (то есть безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем").

Этим свойством обладает только показательное распределение. Поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону.

Например, при допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность  попадания метеорита в космический  корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль  до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.