Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Кафедра таможенной статистики

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический  анализ»

 

на тему «Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному»

 

 

 

                                                Выполнил: И. А. Шибанов, студент  1-го курса

                                                очной формы обучения экономического

                                                факультета, группа Э112Б

                                                Подпись__________________________________

                                                             

                                                Научный руководитель: Г.О. Вафодорова,

                                                доцент, канд. физ.-мат. наук

                                                Подпись__________________________________

 

 

Люберцы

2011

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

Глава 1. Двойной интеграл.

1.1 Определение двойного интеграла……………………………………………7

1.2 Свойства двойного интеграла………………………………………………. 9

1.3 Вычисление двойного интеграла …………………………………………..10

1.4 Сведение двойного интеграла к двукратному …………………………...  11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………… 23

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ……………………….25

 

 

Введение

История понятия интеграла  тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) 

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному  исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx — начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.   В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.  

 

                                                А ∫ f(x)dx          

                                               

 называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в  решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом  Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.  Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил  многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71<p<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы  о пределах были доказаны им.) Но потребовалось  более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение  и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

     S =  å    f(x)dx

^a<x<b

бесконечно большого числа  бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся  теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и Э.Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Общий принцип Кавальери  для площадей плоских фигур формулируется  так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф₁ и Ф₂ по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф₁ и Ф₂ равны.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хⁿ, где п — целое (т.е по существу вывел формулу ò хⁿdx = (1/n+1)хⁿ⁺¹), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Этим занялись Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического  анализа активно развивались  в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена  Л. Эйлера, завершившего систематическое  исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801—1862), В.Я.Буняковский (1804—1889), П.Л.Чебышев (1821—1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в  прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого  ученого Б.Римана (1826—1866), французского математика Г.Дарбу (1842—1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с  созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры.

Различные обобщения понятия  интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (1884—1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894—1959).

В своей работе своей целью я ставлю задачу изучить:

- определение и смысл  двойного интеграла;

- свойства двойного интеграла;

- вычисление двойного  интеграла;

- сведение двойного интеграла  к повторному.

                                                            

 

вычисления двойного интеграла  в полярных координатах после  попыток вычислить его в декартовых координатах.

 

Заключение

Роль интеграла в развитии современной науки огромна. Вот например его применение в решении задач физики :   если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно:     d(mu²/2) = Fds приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина dA=Fds      называется работой, совершаемой силой F.

  Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S₁(a) в S₂(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом [a;x₁] работа силы на этом отрезке равна f(a)(x₁–a). Аналогично на втором отрезке f(x₁)(x₂–x₁), на n-ом отрезке — f(x_n–1)(b–x_n–1). Следовательно  работа на [a;b] равна:

               А » A_n = f(a)Dx +f(x₁)Dx+...+f(x_n–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x₁)+...+f(x_n–1)) Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥       _b

А = lim [(b–a)/n] ( f(a)+...+f(x_n–1))= ò f(x)dx (по определению)

     ^{n®¥                                             a}

или например при нахождении координат центра масс

Центр масс – точка через  которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a;b], а площадь этой криволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

                               

 

 

 

    _{b                                               b}

x₀ = (1/S) ò x f(x) dx;  y₀ = (1/2S) ò f ²(x) dx; 

                                                 ^{a                                              a}

 

Интеграл используется в  таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При  помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

 

Список использованных источников:

 

1. Классический университетский учебник МГУ «Высшая математика» В. А. Ильин, А. В. Куркина / 2011г

2. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра математический анализ/ М.: 1993.

3. И.В.Савельев, Курс общей физики, том 1/ М.: 1982.

4. А.П.Савина. Толковый математический словарь. Основные термины/ М.: Русский язык, 1989.

5. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1/ М.: Оникс 21 век, 2003.

6. Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу/ М.: Высшая школа, 1964.

7. Н.Я. Виленкин. “Задачник по курсу математического анализа”/ М.:, Просвещение, 1971.

8. Л.Д. Кудрявцев. “Курс математического анализа”, том 1/ М.: Высшая школа, 1988.