Понятие симметрического многочлена

Ответ: - i, -2, -1, -½, ½, 1, 2, i.

 

2.1.2. Задания, связанные с квадратными уравнениями

 

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x2+6x+10  =0.

Решение: Пусть x1, x2 - корни исходного уравнения,  y1, y2 - корни искомого уравнения, а p и q – коэффициенты искомого уравнения.

По теореме Виета:

сумма корней первого уравнения:

x1+x2=σ1= -b = -6,

а произведение этих корней:

x1x2= σ2 =c=10.

Аналогично, сумма корней второго уравнения:

y1+y2= -p,

а произведение этих корней:

y1y = q.

По условию мы имеем:

y1 = x12, y2 =  x22.

Поэтому p= -(y1+y2)= -(x12+x22) = -S2 = -(σ12- 2σ2)= -16 и q=y1y2 = x12x22 =σ22= 100.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид: y2 - 16y + 100 = 0.

Ответ: y2-16y+100 = 0.

 

2.1.3. Иррациональные уравнения

 

Задача: Решить иррациональное уравнение 4√97 – x  + 4√x  = 5.

Решение: Положим 4√x = y,  4√97 – x  = z. Тогда исходное уравнение имеет вид: y + z = 5.

Кроме того, мы имеем:

y4 + z4 = x+ (97 – x) = 97.

Таким образом, мы получили систему уравнений

     y+z=5,

     y4 + z4 = 97.

Введем новые неизвестные σ1 = x+y, σ2 = xy. Теперь мы имеем систему    уравнений:

     σ1 = 5,

     σ1 – 4σ12σ2 +2σ22 = 97.

из которой мы получаем для  σ2 квадратное уравнение:

σ22 – 50σ2 +264 = 0.

Решим его. Пусть σ2 = t,  t2 – 50t  + 264 = 0.

По теореме Виета получаем

  t1 +t2 = 50,

  t1 t2  = 264. 

   t1 = 6,

    t2 = 44.

Так что σ2 = 6 и σ2 = 44. Мы получили две системы уравнений:

    σ1 = 5,                                      σ1 = 5,

    σ2 = 6;                                     σ2  =  44.                                    

Или:

     y+z = 5,                                y+z = 5,

     yz = 6;                                     yz = 44.

Первая система имеет два решения:

      y1 = 2,                               y2  = 3,

      z1 = 3;                                    z2  = 2.

Но y=4√x     , и, следовательно, для первоначального x есть два решения:

x1 =  16, x2 = 81.

Вторая система дает для y и z (значит, и для x) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

Ответ: 16, 81.

 

2.2 Неравенства и тождества

 

Метод симметрических многочленов также с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех   и   более            переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема.

Теорема: Пусть σ1 и σ2 – действительные числа. Для того, чтобы оба числа x, y,определяемые из системы уравнений

 x + y = σ1,

 xy = σ2,

были действительными, необходимо и достаточно, чтобы σ1 ,σ2 удовлетворяли неравенству σ12 – 4σ2 ≥ 0. Равенство σ12 =4σ2 достигается лишь в случае, если x = y. Для того чтобы оба числа x, y были действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа σ1, σ2 удовлетворяли неравенствам σ12 – 4σ2 ≥ 0, σ1 ≥0, σ2 ≥0. (Теорема приводится без доказательства).

Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так:

- заменяют симметрический многочлен f(x,y) его выражением через σ1 и σ2;

- заменяют σ2 выражением через σ1 и неотрицательную величину z= σ12 – 4σ2, т.е. подставляют σ2 = ¼ ( σ12 – z);

- получают многочлен от σ1 и z, и в зависимости от условия доказывают то, что нужно доказать (решить). Как правило, сделать это в отношении исходного неравенства значительно сложнее, для чего и применяется метод симметрических многочленов;

- иногда заменяют σ12 его выражением через σ1 и z, т.е. σ12= z + 4σ2.

 Для любых действительных чисел x, y, z, справедливо      неравенство         σ12 ≥ 3σ2; равенство достигается лишь при x=y=z.

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т.е. справедливо для любых допустимых значений входящих   в   него        переменных. Для того чтобы доказать     тождество,    необходимо           преобразовывать одну из частей тождества до полного совпадения этих частей. Если обе части доказываемого тождества выражаются через разности a – b, b – c, c – a, то удобно сделать замену: x= a – b, y= b – c, z = c – a; тогда x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0.

 

2.2.1. Неравенства

 

Задача: Доказать, что если а и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b ≥c, то справедливы неравенства:

a2 + b2 = c2/2,    a4 + b4 = c4/8,     a8 + b8 = c8/128.

Доказательство:

Введем элементарные симметрические многочлены σ1 = a+b, σ2 = ab.

Мы имеем: S2 = a2 + b2 = σ12 – 2σ2 = σ12 – 2*¼ ( σ12 –z) = ½ σ12 + ½z.

Так как z ≥ 0, а по условию задачи σ1 ≥ c, то S2 ≥ ½c2, т.е.

a2 + b2 ≥ ½c2.

Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим:

a4 + b4 ≥ ½(½c2)2=⅛с4.

Аналогично находим, что a8 + b8 ≥ с8/128.

Применяя метод математической индукции, можно таким путем доказать, что если a + b ≥ c и n- произвольное натуральное число, то

a2n + b2n ≥ (1/22n-1)*c2n.

Задача 2: Доказать, что для любых положительных чисел x,y,z справедливо неравенство σ1σ2 ≥ 9σ3.

Доказательство:

Так как числа x,y,z положительны, то σ1>0, σ2>0, σ3>0.   Поэтому неравенства σ12 ≥ 3σ2,  σ22 ≥ 3σ1σ3,   можно    перемножить.   

Мы получили σ12σ22 ≥ 9σ1σ2σ3.   Сокращая на положительную величину σ1σ2,    

мы и получаем требуемое неравенство σ1σ2 ≥ 9σ3.    Равенство σ1σ2 = 9σ3, достигается лишь в том случае,  если  x=y=z.

2.2.2. Доказательство тождеств

 

Задача: Доказать тождество (x+y+z)(xy+xz+yz) – xyz = (x+y)(x+z)(y+z).

Доказательство:

Левая часть тождества есть не что иное, как σ1σ2 – σ3.

Раскроем скобки в правой части тождества. Мы получаем:

(x+y)(x+z)(y+z)= x2y + x2z + y2x + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz= O(x2y) + 2σ3=

=(σ1σ2–3σ3) + 2σ3 = σ1σ2 – σ3.

Итак, тождество доказано.

 

2.3. Системы уравнений

 

2.3.1. Системы уравнений  от двух переменных

 

Задача: Решить систему уравнений:

   x5 + y5 = 33,

    x + y = 3.

Решение: Полагая S5=x5 + y5 , σ1=x+y, σ2=xy, получаем:

 σ15 -5σ13σ2 + 5σ1σ22= 33,

 σ1=3;

Подставив σ1 в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно σ2:

15σ22 – 135σ2 + 210 = 0 |: 15,

 σ22 – 9σ2 + 14 = 0,

Решим его. Пусть σ2=t, тогда уравнение имеет вид t2 – 9t + 14 = 0.

Тогда по теореме Виета получаем:

   t1 + t2 = 9,

   t1t2 = 14.

  t1 =7,

  t2 =2.

 

Итак, σ2=2 и σ2=7. Мы получили две системы уравнений:

    x + y = 3,                            x + y = 3,

    xy = 2;                                xy = 7;

Решая их методом подстановки, получим четыре системы решения первоначальной системы:

    x1=2,      x2=1,       x3=3/2 + (√19/2)*i,      x4=3/2 – (√19/2)*i,      

    y1=1;      y2=2;       y3=3/2 – (√19/2)*i;     y4=3/2 + (√19/2)*i;

Ответ: (2;1); (1;2); (3/2 + (√19/2)*i; 3/2 – (√19/2)*i); (3/2 – (√19/2)*i; 3/2+ (√19/2)*i).

2.3.1. Системы уравнений  от трех переменных

 

Задача: Решить систему уравнений

      x + y + z = 2,

      x2 + y2 + z2 = 2,

      xyz = 0.

Решение:

Это – симметрическая система уравнений. Положим x + y + z = u,

xy + xz + yz = v,   xyz = w. Поскольку     x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 -2(xy + yz+xz),   то x2 + y2 + z2 = u2 – 2v, и, следовательно, заданная система имеет следующий вид:

    u = 2,

   u2 – 2v = 2,

   w = 0.

Отсюда мы получаем u = 2, v =1, w = 0. Эта система полностью эквивалентна исходной системе. Для ее решения необходимо найти корни кубического уравнения z3 – 2z2 + z = 0:

z3 – 2z2 + z = 0,

Вынесем z за скобки. Получим: z(z2 – 2z +1) =0, z1 = 0 или  z2 – 2z +1 =0,

   z2 + z2 = 2,

   z2z3 = 1;

   z2 = 1,

  z3 = 1.

Получили три корня. А решения первоначальной системы получаются путем перестановок этих корней.

Ответ: (0;1;1), (1;1;0), (1;0;1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Решение нестандартных заданий, задач повышенной сложности позволяет развивать логику мышления, а также повышает шансы    учащегося на успешную сдачу экзамена по математике и более легкое обучение в ВУЗе.   Одним из методов решения таких задач является метод применения симметрических многочленов. В данной работе были изучены основные понятия и факты теории симметрических многочленов от двух и трех переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений.

К сожалению, такой раздел алгебры как теория симметрических многочленов выходит за рамки школьной программы, хотя минимальные знания по этой теме могут быть весьма полезны при решении целого ряда задач. Например, решение алгебраических уравнений высших степеней и их систем, разложение многочленов на множители, доказательство тождеств и др.

Метод, основанный на свойствах симметрических многочленов, не является столь универсальным при решении систем как первый метод, но при выполнении определенных условий приводит к решению уравнений, степени которых ниже исходных. Кроме того, данный метод позволяет решать и другие алгебраические задачи.

 Таким образом, основная задача  нашей работы – изучение основных понятий и фактов теории симметрических многочленов от двух переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений достигнута.

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

1. Алгебра и начала анализа. Учебник 11кл.//Авторы: Г.К. Муравин, О.В. Муравина. 2010 г. Изд-во: Дрофа.
2. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. Учебник 8 кл. //Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. 2010 г. Изд-во: Просвещение. Москва.

3. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967.

4. Дородницин В.А., Еленин Г.Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики. М.: Знание, 1984. № 4.

5. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. № 8.

6. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. № 7.

7. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.

8. Мигдал А.Б. Поиски истины. М.: Молодая гвардия, 1983.