Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона (метод парабол)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

ИНСТИТУТ ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВА

И УПРАВЛЕНИЯ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ 

 

                                                                        Кафедра: Математики 

Дисциплина:  Математика

 

Лабораторная  работа

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона

 (метод парабол)

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка

Гр. УБ0909

Кривоногова Юлия

Проверил: Ушаков Ю.Д.

 

                                                        Красноярск

2010

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1.Постановка задачи............................................................................................3

2.Теоретические сведения...................................................................................3 

3. Выполнение поставленной задачи………………………………………….4.

 

 

1.Постановка задачи.

Вычислить  интеграл по формуле Симпсона.

 

2.Теоретические сведения.

Метод парабол (Симпсона)    т. к. парабола определяется

тремя точками, то кроме граничных точек интервала  и надо взять

ещe одну –посередине 

 

Значение интеграла на интервале тогда будет равно:    

 

Ошибку метода можно оценить по формуле

R(n)= max , где x  [a,b]

 

где |b-a| длина отрезка интегрирования

n- количество интервалов разбиения.

| |=модуль производной четвертого порядка от подынтегральной функции

    

Усовершенствованные методы.

 Если вместо параболы использовать многочлены более высоких степеней, то

получаются методы Ньютона – Кортеса.

 Если местоположение и длина интервалов определяется путем анализа, сначала определяется количество интервалов, а затем в соответствии с требованием достижения наибольшей точности точки внутри интервалов через которые проходит приближающая функция, то получаются методы Гаусса. Стоит отметить, что наиболее оптимальным методом по соотношения простоты / точность  является все же метод парабол(Симпсона).

 

  Оценка погрешности по правилу Рунге__________.

 При программировании вычисление определенного интеграла заканчивают по достижении  заданной точности – EPSI.

Для оценки точности в этом случаи используют метод двойного пересчета, который заключается в следующем:

1.  Вычисляется интеграл с разбиением на n интервалов 

2.  Увеличивают количество интервалов в два раза и получают новое приближение

Чтобы определить как новое вычисленное значение  отличается от истинного значения применяют правило Рунге:

 Для метода  парабол  

 

3. Выполнение  поставленной задачи.

Будем вычислять значение определенного интеграла методом парабол с числом интервалов разбиения N=4 

 

(это значение интеграла)

 

i=	Полученное значение, вычисленное по формуле
1	0,0417*(1+3,999992+0,9999)=0,2501945916
2	0,0417*(0,9999+3,9944+0,992198)=0,2496
3	0,0417*(0,992198+3,8813+0,9123)=0,2412687267
4	0,0417*(0,9123+3,1355+0,5403)=0,191323

=0,2501945916+0,2496+0,2412687267+0,191323=0,9323925662

Найдем символьно четвертую  производную

На отрезке от 0 до1 max значение функция принимает в точке 1, тоесть

max := fp4(b) =219,106

 

 R(n)= max ,=0,0002971815

Оценка погрешности по правилу Рунге

Для этого увеличим шаг  на 2, тоесть n=8

i=	Полученное значение, вычисленное по формуле
1	0,0208*(1+3,9999+0,9999)=0,124798
2	0,0208*(0,9999+3,9997+0,9998)=0,1248
3	0,0208*(0,9998+3,998+0,9986)=0,1247
4	0,0208*(0,9986+3,985+0,992)=0,1214
5	0,0208*(0,992+3,936+0,970)=0,1226
6	0,0208*(0,970+3,790+0,912)=0,11798
7	0,0208*(0,912+3,4383+0,784)=0,107
8	0,0208*(0,784+2,717+0,540)=0,0840528

=0,9301308

Следовательно , так как    То =0,9302815844.