Приемы вычисления несобственных интегралов

Оглавление

Введение 2

1.Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования 2

2.Приемы вычисления несобственных интегралов 3

3.Формулы прямоугольников 5

3.1.формулой левых прямоугольников 5

3.2.Формула правых прямоугольников 6

3.3.Формула средних прямоугольников 7

4.Формула трапеций 8

5.Формула Симпсона 9

Литература 10

 

 

 

Введение

При определении интеграла

предполагалось, что: 1) отрезок  интегрирования [a, b] конечен 2) подынтегральная функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Такой определенный интеграл называется интегралом в "собственном смысле", или собственным интегралом. В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, то (1) называется интегралом в "несобственном смысле" или несобственным интегралом.

1.Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

 

     Пусть функция f(x) непрерывна при a ≤ x < +∞. Тогда по определению полагают

     (2)

Если предел (2) существует, то несобственный  интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой  части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.  

Интеграл  определяется аналогично:

     

а интеграл    

при этом    где a - любое число.

2.Приемы вычисления несобственных интегралов

Для интегралов с бесконечными пределами есть несколько приемов вычисления.

Прием 1—введение такой замены переменных, чтобы превратить пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла

                                 ,    а > О,

замена х = а/(1- t) превращает полупрямую [а,) в отрезок [0, 1]. Если после преобразования подынтегральная функция вместе с некоторым числом производных остается ограниченной, то можно находить интеграл стандартными численными методами.

Прием 2 — обрезание верхнего предела. Выберем настолько 
большое b, чтобы

 

был меньше допустимой ошибки вычислений. Тогда его можно 
отбросить, а

 

вычислить по квадратурной формуле. Вблизи верхнего предела 
подынтегральная функция мала, поэтому вычисление выгодно вести на квазиравномерных сетках, шаг которых велик при xb. Для уменьшения объема вычислений целесообразно приближенно вычислить отброшенную часть интеграла и учесть как поправку; это позволяет выбирать меньшее значение b.

Прием 3 - использование формул Гаусса - Кристоффеля. Из подынтегральной функции надо выделить положительный множитель, который можно рассматривать как вес для данных пределов интегрирования. Например, дадим способ вычисления интегральной экспоненты (2,50). Сдвигая нижний предел, приведем интеграл к форме

.

Рассматривая е^-t как весовую функцию и обозначая через , нули многочленов Лагерра (t) и соответствующие веса квадратурной формулы, получим

.

Это выражение можно использовать как аппроксимирующую формулу. Например, одному и двум узлам интегрирования соответствуют

, .

Если первая из этих формул пригодна лишь при больших аргументах, то вторая дает удовлетворительную точность ~5% уже при х=1, а при больших аргументах точность еще лучше.

Прием 4 — построение нелинейных квадратурных формул, применимых на бесконечном интервале. Для практического применения таких формул удобно ввести квазиравномерную сетку на [а, ), ибо ее последний интервал обладает требуемым свойством: его правая граница удалена в бесконечность, а середина остается конечной. Кроме того, на квазиравномерных сетках можно уточнять результат методом Рунге - Ромберга.

Если пределы интегрирования конечны, значит, f(х) обращается в бесконечность в каких-то  точках  отрезка

[а,b]. Будем считать, что вблизи особой точки | f(х) |, где

  -1<а<0; случай  1,  когда интеграл существует в смысле главного значения, надо разбирать отдельно. Особые точки разбивают отрезок на части. Рассмотрим приемы вычисления интеграла по отдельному отрезку, у которого особыми точками являются только одна или обе границы.

Прием 1— аддитивное выделение особенности. Постараемся разбить подынтегральную функцию на сумму f(х) = (х)+(х), где (х) — ограниченная функция, а (х) интегрируется аналитическими методами. Тогда вычисляем точно, a находим обычными численными методами. Заметим, что обычно разбиение на сумму делается выделением особенности в наиболее простом виде. Например, если , а интеграл вычисляется от точки х = 0, то основная особенность имеет вид ; если положить (x) = f (х) —(х) = , то полученная функция будет ограничена, что и требуется.

Прием 2 — мультипликативное выделение особенности. Представим подынтегральную функцию в виде , где (х) ограничена, а (х) положительна и интегрируема на отрезке. Тогда можно рассматривать (х) как весовую функцию и применять квадратурные формулы Гаусса — Кристоффеля. Если на обоих концах отрезка функция имеет особенности степенного вида, то узлами интегрирования будут нули многочленов Якоби. Например,                              

 

Здесь использовались многочлены Чебышева первого рода.

3.Формулы прямоугольников

3.1.формулой  левых прямоугольников

Пусть  , т.е. мы аппроксимируем f(x) левой кусочно–линейной интерполяцией. Тогда получим           / .

Таким образом,  .

 

 

 

Геометрическая интерпретация:

Учитывая, что интеграл от некоторой  функции дает значение площади, то площадь  криволинейной области заменяется на сумму площадей прямоугольников.

3.2.Формула правых прямоугольников

Здесь  . В результате получим: 

Оценим погрешность формул. Например, погрешность формулы левых прямоугольников.

.

Воспользуемся формулой Тейлора:

Тогда 

Пусть  , тогда  ,т.е. формула левых прямоугольников имеет первый по h порядок точности.

Аналогично и для формулы правых прямоугольников.

3.3.Формула средних прямоугольников

Здесь функция на отрезке   заменяется на ее значение в середине отрезка, т.е. 

Тогда, получим   - это формула средних прямоугольников.

Её удобно записать в виде 

Оценим погрешность формулы  средних прямоугольников.

Воспользуемся формулой Тейлора:

Пусть  , тогда

, т.е. формула средних прямоугольников  имеет второй по h порядок точности.

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

4.Формула трапеций

В этой формуле  , т.е. площадь криволинейной трапеции, заменяется на площадь прямоугольной трапеции.

Формула трапеций получается путем  замены подынтегральной функции  интерполяционным полиномом первой степени:

.

Действительно

Тогда для всего отрезка [a,b] получим:

Можно показать, что формула трапеций имеет второй порядок точности.

Формулу трапеций можно записать в  виде:

5.Формула Симпсона

При аппроксимации интеграла  , функцию f(x)на отрезке   заменяют параболой, проходящей через точки  , где  , т.е. используем для аппроксимации полином Лагранжа второй степени:

Следовательно, получаем формулу Симпсона

Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности

Литература

 

Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284 с.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., «Наука», 1986.

Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа», 1973.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.

Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509 с.

Олейник С.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. Несобственные интегралы и ряды Фурье. Изд-во: Факториал Пресс, 1998. – 488c.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.