Применение векторной алгебры в механике

     Применение векторной алгебры в механике

Опишем применение векторной  алгебры в механике для решения  задачи приведения системы сил. Будем  использовать элементарные механические понятия, опираясь на их физический смысл, не придерживаясь формального изложения  теории. В частности, силы будем рассматривать  как скользящие векторы, не определяя  их свойства аксиомами, как это принято  в теоретической механике.

Положение точки A твердого тела будем задавать ее радиус-вектором с началом в некоторой заданной точке O пространства. Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила . Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором. Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль линии действия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным. Поэтому, задавая силу указывают точку ее приложения (либо линию её действия).

Моментом силы , приложенной в точке A, относительно центра O называется векторное произведение радиус-вектора на силу и обозначается . Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние OP от точки O до линии действия этой силы, называемое плечом:

Система сил , приложенных к твердому телу, характеризуется главным вектором:

и главным моментом относительно точки O:

где — радиус-векторы точек приложения сил сложение сил выполняется как сложение свободных векторов.

 Парой сил называется система двух параллельных сил и (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент. По формуле учитывая свойства векторного произведения, получаем     

где . Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки O. Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке. Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковым главным моментом одно и то же. 
           Системы сходящихся и системы параллельных сил

Система сил , линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.

Пусть задана система  сходящихся сил  с главным вектором . Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку A, то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: . Тогда второй инвариант . Такая система приводится к равнодействующей . Требуется определить точку A (ее радиус-вектор ) приложения равнодействующей силы.

Если все силы принадлежат одной  прямой, то и равнодействующая лежит  на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой A приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаются в точке A, то эта точка является точкой приложения равнодействующей (1.66,а). Например, в системе (рис. 1.66,6) силы и не коллинеарны, поэтому точку A (точнее ее радиус-вектор ) можно найти из системы уравнений:

которая выражает условия коллинеарности векторов: и , т.е. и .Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к равенству , которое можно представить в виде

Таким образом, неизвестные  (достаточно найти одну неизвестную, например, ) можно найти как коэффициенты разложения вектора по базису , а затем получить искомый радиус-вектор:

Он определяет точку A равнодействующей силы .