Применение кубатуры для регуляризации задачи идентификации значения оператора Лапласа

Применение кубатуры для  регуляризации задачи идентификации

значения оператора Лапласа.

 

 

Содержание

 

1. Введение…………………………………………………………….…3
2. Постановка задачи……………………………………………….….…4
3. Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для задачи идентификации…………………………………………………..……5
4. Дискретизация для двумерного интегрального уравнения        Фредгольма 1-го рода…..……………………………….……..……13
5. Метод регуляризации для систем линейных алгебраических уравнений………………………………………………………….......21

Заключение ……………………………….………………….…………25

Приложение………………………………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аннотация

Рассмотрена задача идентификации правой части оператора для функции заданной с погрешностью. Для нахождения получаем двумерное уравнение Фредгольма 1-го рода, которое решается методом дискретной  регуляризации. Составлены программы в пакете SCILAB, осуществлены численные расчеты и построены графики регуляризованного решения в контрольных примерах.

 

Введение

Прикладные проблемы приводят к  необходимости решения краевых  задач для уравнений с частными производными. Разработка приближенных методов их решения базируется на построении и исследовании численных  методов решения краевых задач  для базовых (основных, модельных) уравнений  математической физики. В качестве таковых при рассмотрении уравнений  второго порядка выделяются эллиптические, параболические и гиперболические  уравнения. Решение краевой задачи определяется из уравнения и некоторых  дополнительных условий. Для стационарных уравнений задаются граничные условия, а для нестационарных еще и  начальные условия. Отмеченные краевые  задачи относятся к классу прямых задач математической физики, то есть задачи, для которых заданы причины, а искомыми величинами являются следствия. Они характеризуются необходимостью нахождения решения из уравнения с заданными коэффициентами и правой частью и дополнительных граничных и начальных условий.

Обратными же будут задачи, в которых известны следствия, а неизвестными выступают причины. Они связаны часто с необходимостью определения не только решения, но и некоторых недостающих коэффициентов или условий. Одним из признаков обратной задачи может служить именно необходимость определения не только решения, но и некоторых компонент математической модели. Обратные задачи математической физики часто принадлежат к классу некорректных в классическом смысле задач. Некорректность обусловлена, прежде всего, отсутствием непрерывной зависимости решения от входных данных. В этом случае приходится сужать класс допустимых решений и использовать специальные регуляризируюшие процедуры для нахождения устойчивого решения. [1].

Для нахождения решений этих задач  используется метод сведения к интегральному  уравнению Фредгольма 1-го рода. Поэтому  решение таких задач представляют большой практический интерес. В  условиях, когда прямые измерения  на границе невозможны, мы имеем  дело с граничными обратными задачами. В этом случае недостающие граничные условия идентифицируются, например, по измерениям внутри области.

Имеются еще задачи идентификации правой части уравнения в частных производных. Это соответствует нахождению воздействия по его результату - известному решению уравнения аналитически заданному или дискретно. Это тоже относится к обратным задачам, вообще говоря, некорректным. Некорректность возникает вследствие неограниченности дифференциального оператора: малая погрешность в решении дает большую погрешность при дифференцировании.

                                    

                                        Постановка задачи

Рассматривается обратная задача идентификации правой части для оператора Лапласа с приближённо заданной внутри области:    ,       (1)     

с краевыми условиями

,  ,                                        (2)

,  ,

Как известно, задачи численного дифференцирования  некорректна [1] для приближённо заданной . Поэтому рассматривается применение регуляризации путем сведения к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода.

 

2. Интегральное уравнение  Фредгольма 1-го рода для задачи  идентификации

Рассмотрим  уравнение

  ,    

с краевыми условиями на границе прямоугольника. Требуется для приближённо заданной найти функцию . Сведем эту задачу к двумерному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода.

Случай 1. Однородные краевые условия:

u(x, d) = u(x, c) = u(a, y) = u(b, y) = 0.

Используем функцию Грина для  краевых задач вида:

w′′(x) = 0 ,  w(a) = w(b)  = 0,

w′′(y) = 0,   w(c) = w(d)  = 0.

Последовательно интегрируя, приводим задачу к интегральному уравнению  Фредгольма 1-го рода

,

с ядром  и правой частью

Здесь функции Грина (частные для x и y) следующие

 ,

а также

Утверждение. Сведение обратных эллиптических краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода

Пусть

Выделим один из членов левой части  и рассмотрим полученное уравнение:

(G₁,G₂- функции Грина для соответствующих краевых условий),

Также обозначим:

(поменяли местами интегрирование  и дифференцирование поскольку  ).

По свойству функции Грина:

- уравнение Фредгольма  I рода.

- ядро уравнения.

Итак, мы получили интегральное уравнение Фредгольма

Таким образом, имеем двумерное интегральное уравнение  Фредгольма 1-го рода с ядром  и правой частью , . Доказано.

Функции Грина получены соответственно из краевой  задачи для частных производных

, u(a, y ) = u(b, y) = 0,

, u(x, c ) = u(x, d) = 0.

Отметим, что  может быть задана аналитически или дискретно (в узлах сетки). Для приближенного вычисления функции P(x,y) следует применить кубатурные формулы.

Случай 2. Неоднородные краевые условия задачи:

,        

где краевые условия неоднородные

, ,

, ,

при выполнении неравенства 

.

С целью сведения к однородным условиям сделаем замену:

   (1)

Проверим выполнение нулевых условий  на концах  a, b . Очевидно, имеем:

,

Далее сделаем следующую замену:

   (2)

Проверим  выполнение нулевых условий на концах c,d.

Имеем

,

.

Далее для  функций получаем равенства

   (3)

  (4)

Подставляя  эти равенства (3) и (4) в (2), получаем

 

 

Отсюда, с  учётом обозначений, получим:

  (5)

Представим выражение (5) в следующем  виде:

     (6),

где функция

  (7)

Проверим  нулевые граничные условия для .

На конце  a

 

 

 

 

Аналогично  получим на конце b

Тогда

На конце c

На конце d

 

Итак, на границе [a,b;c,d]:

Из равенства (6) выразим u(x,y)

     (8)

и подставив  (8)  в исходное уравнение, получаем

 (9)

Обозначим:

      (10)

Тогда получим

Для уравнения  Гельмгольца:

получаем 

Функцию f(x,y) (выражение (7)) представим следующим образом:

, где

   

Найдем вторые частные производные  от f(x,y)по x и y:

Подставляем найденные частные  производные в уравнение (10).

 

Получим:

где

.

Найденные функции используем для нахождения регуляризованного решения и погрешности в контрольных примерах.

Далее решаем задачу уже с однородными краевыми условиями для функции  :

          

Используя функцию Грина (как и в случае 1), сводим к двумерному интегральному  уравнению Фредгольма 1-го рода вида:

,    (11)

где ядро и функция

.

Найдем из уравнения (11) функцию и приближенное решение задачи идентификации находится как при . Здесь .

 

Замечание. Будем считать, для наглядности, что на границе прямоугольника функция и ее производные заданы точно, а внутри прямоугольника приближенно.

 

 

 

3. Дискретизация для  двумерного интегрального уравнения  Фредгольма 1-го рода

 

Рассматривается интегральное уравнение  Фредгольма 1 рода:

,     (1)

где, , , −заданная функция, ядро непрерывная при , , – решение этого уравнения, где . Как известно, задача (1) принадлежит классу некорректных задач.

 

Понятие корректно и некорректно  поставленной задачи

Математической  моделью многих практических задач  является линейное уравнение

       (2)

Здесь z – искомый элемент, u – правая часть, z принадлежит нормированному пространству Z, а u принадлежит нормированному пространству U и A – линейный ограниченный оператор, действующий из Z в U. Для нахождения приближенных решений таких уравнений широко используют численные методы. При этом возникает проблема погрешности в задании правой части или оператора А. Нужна уверенность в том, что найденное приближенное решение z_n мало отличается от z_т. На практике обстоятельства осложняются еще тем, что правая часть u уравнения (2) и оператор А бывают известными приближенно. Поэтому в действительности, как правило, имеют дело с возмущенным уравнением:

       (3)

хотя основной целью является отыскание точного решения z_т уравнения (2).

Среди задач (2) выделяют класс некорректно поставленных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. В таких случаях наталкиваются на большие трудности при выяснении смысла полученного приближенного решения [1].

 Рассмотрим задачу решения  уравнения  . Здесь и — некоторые нормированные пространства. - оператор, переводящий элементы элементы пространства . Следуя Адамару, задача называется корректной или корректно поставленной, если выполнены следующие условия:

1. решение задачи  существует для любого элемента (условие разрешимости)

2. из равенства вытекает  (условие единственности решения)

3. оператор непрерывен на (условие устойчивости)

В корректно поставленных задачах  малым изменениям правых частей соответствуют малые изменения решения.

Действительно, пусть  , , , при .

Тогда , при .

Задачи  , не удовлетворяющие хотя бы одному из условий, называются некорректными или некорректно поставленными.

Следуя А. Н. Тихонову [1], задача называется корректной или корректно поставленной, если выполнены следующие условия:

1. существует  способ нахождения решения уравнения (2): , (условие разрешимости);

2. – единственное (условие единственности решения);

3. устойчивость оператора  , т.е.   при .

Тогда задача корректна по А. Н. Тихонову.

Задачи  , не удовлетворяющие хотя бы одному из условий, называются некорректными или некорректно поставленными. [1], [2].

Покажем, что у двумерного уравнения  Фредгольма 1-го рода отсутствует устойчивость (не выполняется 3 условие корректности по Тихонову А.Н.). Пусть имеем двумерное уравнение Фредгольма 1-го рода:

,

_.

Пусть - решение этого уравнения.  Тогда будет решением уравнения с правой частью:

.

Для любого уклонение правых частей в пространстве

.

Тогда на основе известной теоремы Римана из курса математического анализа  и рядах  Фурье при фиксированном

 при .

Но  уклонение соответствующих решений  будет

, 

и может быть сделано как угодно большим. Тем самым, отсутствует  устойчивость.

В корректно поставленных задачах  малым изменениям правых частей соответствуют малые изменения решения. Для некорректно поставленных задач целесообразно уточнить понятие решения. Действительно, если условие 1. выполняется, но не выполняется условие 2., то точных решений много. Если же не выполняется условие 1, то таких решений вообще нет. В таких случаях говорят о нормальных решениях.