Применение метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации

g(x_j) = r(x_j) – b,

j = 1, 2.

2. Записать ограничения в виде

g(x_j) = 0,

j = 1, 2.

Аналогично преобразовать  граничные условия.

Тогда задача оптимизации  будет иметь вид:

 

В результате получили задачу на условный экстремум.

Перед тем как перейти  ко второму этаму, напомним, что функция Лагранжа L(x1,x2, λ) представляет собой сумму целевой функции (4.13) и функции ограничения (4.14), умноженной на новую независимую переменную λ, называемую множителем Лагранжа, входящую (обязательно) в первой степени:

                                            (4.13)

при условии

g(x₁,x₂) = 0                                                                                           (4.14)

Второй этап метода Лагранжа состоит:

а) в построении функции  вида L(x₁,x₂, λ) = f(x₁,x₂)+ λg(x₁,x₂) от трёх переменных x₁,x₂, λ, называемой функцией Лагранжа;

б) в сведении задачи на условный экстремум (4.13), (4.14) в случае двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции L(x₁,x₂, λ).

Необходимое условие локального условного экстремума функции:

1. пусть функции f(x₁,x₂), g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным x₁ и x₂;
2. пусть (x⁰₁,x⁰₂) – точка условного локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14) и пусть grad g(x⁰₁,x⁰₂) = 0. Тогда существует единственное число λ⁰ такое, что трехмерная точка (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) удовлетворяет следующей системе трех уравнений с тремя неизвестными x₁,x₂, λ:

 

Всегда  g(x₁,x₂).

Таким образом, если двумерная  точка (x⁰₁,x⁰₂) есть точка локального экстремума, то трехмерная точка (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) является критической точкой функции Лагранжа.

Алгоритм нахождения точек  условного локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14):

а)найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (4.15);

б) в критических точках функции Лагранжа следует удалить  коэффициенты;

в) каждую полученную точку  проанализировать, является ли она  в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14) или не является. При этом используют геометрические или содержательные экономические соображения.

В некоторых новых задачах  на условный экстремум, появляющийся в  экономике, обычно критическая точка  функции Лагранжа действительно  является точкой условного локального (и глобального) экстремума функции (4.13) [17]

∆ Пример 4.5. Найти экстремум функции у = x²₁ + x²₂ при условии, что x₁ + x₂ = 1. Получили задачу на условный экстремум.

Р е ш е н и е. Запишем ограничение x₁ + x₂ = 1в виде x₁ + x₂ – 1 = 0.

Имеем

L(x₁,x₂, λ) = x²₁ + x²₂ + λ (x₁ + x₂ – 1).

откуда следует, что 

                   (4.16)

Из первых двух уравнений  получаем, что х₁ = х₂. Используя третье уравнение, получаем, что x⁰₁ = x⁰₂ = ½. Таким образом, система уравнений (4.16) имеет единственное решение, т.е. получаем единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2, ½, -1)(λ⁰ = -2х⁰₁ = -2∙1/2=-1). Критическая точка (x⁰₁ , x⁰₂ ) = (1/2; ½) есть точка условного локального (а также и глобального) минимума заданной функции при её заданном ограничении.►

Если задана общая задача (4.17) с ограничениями (4.18) на определение условного экстремума:

f(x₁, …, x_n)→max(f(x₁, …, x_n)→min)                                            (4.17)

при условиях

g₁(x₁, …, x_n) = 0,

         …                                                                                            (4.18)

g_N(x₂, …, x_n) = 0

(обычно m‹n), то функция Лагранжа имеет вид:

L(x₁, …, x_n, λ₁, …, λ_n) = f(x₁, …, x_n)+ λ₁g₁(x₁, …, x_n)+ … + λ_ng_n(x₁, …, x_n).

При этом система (4.16) переписывается в виде системы              уравнений с n + m неизвестными х₁, …, х_n, λ₁, …, λ_n.

Критическая (n + m)-мерная точка (x⁰₁, …, x⁰_n, λ⁰₁, …, λ⁰_n) функция Лагранжа приобретает вид (x⁰₁, …, x⁰_n) n-мерной точки.

Если использовать понятие  градиента, то условия локальности  экстремума для функции f(x₁, x₂) можно представить в компактной векторной форме:

grad f(x₁,x₂) + λ grad g(x₁,x₂) = 0.

Для критической точки  (x⁰₁,x⁰₂,λ⁰) функции Лагранжа имеем:

grad f (x⁰₁,x⁰₂) = - λ⁰ grad (x⁰₁,x⁰₂),

что эквивалентно тому, что  в точке (x⁰₁,x⁰₂) линии уровней функции f(x₁,x₂) и g(x₁,x₂) соответственно касаются (grad(x⁰₁,х) = 0).

Необходимое условие локального условного экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14) в геометрической форме:

пусть функции f(x₁,x₂), g(x₁,x₂) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х₁ и х₂;

пусть (x⁰₁,x⁰₂) – точка условного локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14);

пусть grad f(x⁰₁, x⁰₂) = 0 и grad g(x⁰₁, x⁰₂) = 0.

Тогда grad f(x⁰₁, x⁰₂) и grad g(x⁰₁, x⁰₂), выходящие из точки (x⁰₁, x⁰₂), обязательно расположены на одной прямой с противоположными направлениями, что эквивалентно тому, что линии уровней функций f(x₁, x₂) и g(x₁, x₂), содержащие точку (x⁰₁, x⁰₂), касаются в этой точке (рис. 4.4, а), являющейся точкой условного локального максимума.

Фрагмент карты линий  уровня целевой функции f(x₁, x₂) типичен для экономической теории. Однако необходимое условие (в том числе и геометрическое) локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14), вообще говоря, не является достаточным, т.е. в случае касания в точке (x⁰₁, x⁰₂) линий уровня функций f(x₁, x₂) и g(x₁, x₂) (это эквивалентно расположению на одной прямой градиента grad f(x⁰₁, x⁰₂) и grad g(x⁰₁, x⁰₂), исходящих из точки (x⁰₁, x⁰₂)), точка (x⁰₁, x⁰₂) может и не являться точкой условного локального экстремума функции (4.13) при наличии ограничения (4.14). Иллюстрацией этому может служить точка (x⁰₁, x⁰₂) на рис. 4.4, б – критическая точка функции Лагранжа, которая не является точкой локального экстремума функции (4.13).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4. Определение  экстремумов в задачах потребительского спроса:

а – градиент функции у = f(x⁰₁, x⁰₂) и g(x⁰₁, x⁰₂); б – «укороченная» критическая точка; в – поиск условного экстремума; г – линии безразличия; д – график потребительского выбора; е – интерпретация замены благ; ж – процесс взаимозаменяемости и компенсационных эффектов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В заключение отметим следующие  особенности [7, 25].

1. Если в задаче (4.13) на условный экстремум ограничение (4.14) в виде равенства заменить на ограничение g(x₁x₂)≥0 в виде неравенства, то мы получаем частный случай задачи математического программирования (ЗМП):

f(x₂,x₁)→max    (f(x₁,x₂)→min)                                                        (4.21)

при условии

g(x₁,x₂)≤0.                                                                                          (4.22)

2. Задача математического программирования – более общая задача по сравнению с задачами на абсолютный (если исключить их общие ограничения, а из специальных оставить одно в виде равенства) экстремумы. Однако на практике в случае задачи математического программирования речь идёт только о глобальном экстремуме, т.е. задачах на абсолютный и условный экстремумы – как о глобальном, так и о локальном экстремуме.
3. В экономической теории часто (но не всегда) задача математического программирования сводится к задаче на условный экстремум (таковыми являются задачи потребительского выбора, или рационального поведения потребителя на рынке, которые с математической точки зрения являются разными задачами, но имеют одно и то же решение (х⁰_j)).
4. Если в ЗМП все функции f(x₁, x₂), g₁(x₁,x₂), …, g_n(x₁,x₂) являются линейными, то имеем задачу линейного программирования, подробно рассмотренную в главе 2, а если же хотя бы одна из приведённых функций окажется нелинейной, то имеем задачу нелинейного программирования.

Ниже на примере решения  задач потребительского выбора рассмотрим модели потребительского спроса, особенности  влияния компенсационных эффектов на максимизацию функции полезности.

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1)Шелобаев С.И. Экономические-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2005. -287с. 
2) Жданов С. А. Экономические модели и методы в управлении. - М.:Дело и сервис, 1998. 
3)Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. - М.: ИНФРА-М,1998 
4)Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики. - М.: УРАО,1998. 
5)Семенов В. М., Баев И. А.,Терехова С.А. Экономика предприятий. - М.: Центр экономики и и маркетинга, 1998.