Проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию хи-квадрат Пирсона

 

 

 

 

 

 

 

Отчет по лабораторной работе

по высшей математике на тему:

проверка гипотезы о нормальном распределении

по критерию хи-квадрат Пирсона

 

 

 

 

 

 

 

2013

 

 

 

 

 

 

 

 

Известны x₁, x₂, … x_n – результаты независимых наблюдений над случайной величиной x:

13	18	15	12	13	14	12	13	16	15	15	12
13	15	14	16	18	13	15	14	16	14	13	15
12	18	12	14	16	12	13	15	15	15	13	14
15	18	16	12	15	13	13	13	15	15	17	17

Проверить гипотезу о нормальном распределении выходной величины x. Найти эмпирическую функцию распределения F^*(x).

1. Для верной работы системы активируем пакеты математики:

2. Зададим выборку объема n  случайной величины Х массивом d, n - число элементов в массиве, т.е. объем выборки:

 

 

3. Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочная средняя, генеральной дисперсии - исправленная дисперсия. Определим приближенное значение математического ожидания и дисперсии СВ Х по выборке.

Mean [d]-определяет выборочную среднюю .

StandardDeviation[d] -  выборочное среднее квадратическое отклонение.

 

 

4. Функция Frequencies[d] ( в переводе  означает частота) расположит все значения в порядке возрастания, указав вначале частоту появления данной варианты.

 

 

5. После получения вариационного ряда в пункте 4 находим наименьшее 12, наибольшее 18 значения выборки. Определим количество интервалов по формуле Стержеса: m = 1 + 3,32·lg n = 1+log₂n и их длину, где m-число интервалов.

 

 

6. Найдем длины участков.

dx-длина участка

MxX, MnX  - максимальное и минимальное значение выборки.

 

 

7. Составим интервальную таблицу. В данном случае получаем:

 

 

8. Рассмотрим новые варианты, состоящие из полученных средних значений, за соответствующие частоты примем сумму частот вариант, входящих в данный интерал.Функция BarChart[w ] строит гистограмму.

 

 

9. Для расчётов создадим массив состоящий только из Х. Это осуществляется с помощью функции Column[data,n], которая из массива data выделяет n-й столбец.

 

 

10. Получим теоретические значения вероятностей для интервалов. Для этого сначала зададим интегральную  функциюЛапласа.

Ф(х)1/

Затем зададим массив интервалов, а из него массив Х,равный  ((х_i-a)/δ). Затем рассчитаем значение функции Лапласа для каждого из значений x_i.

 

 

11. Итак, значения

Ф = { -0.415082,-0.289505,-0.0935466,0.12981,0.315774,0.428867,0.479096} Можно было найти по приложению 2 (Гмурман). Затем находим вероятность попадания в i-ый интервал для нормального распределения по формуле:

 P(x_i-1 ≤ X < x_i) = Ф(((x_i-a)/δ)) - Ф(((x_i-1-a)/δ))

 

 

12. Для вычисления эмпирической функции распределения F^*(x) перечислим все частоты появления так называемых новых вариант. В теории мы их обозначали n_i и Вычислим значение эмпирической функции распределения F^*(x):

 

 

13. Для нахождения χ2 мы нашли наблюдаемые частоты n_i, которые вложили в массив k={18,6,13,5,2,4}, объем выборки  n=48, вероятность того, что случайная величина попала в i - ый интервал p_i = P(x_i-1 £ X < x_i), обозначив Pi получили

P 1 = 0.125577

P 2 = 0.195958

P 3 = 0.223356

P 4 = 0.185964

P 5 = 0.113093

P 6 = 0.0502294

Определим (χ2)_{наблюд:}

 

 

14. При числе степеней свободы к₁= к-l-1=6-2-1=3, где l - число параметров распределения , в нашем случаи, проверялась гипотеза о нормальном распределении, в нормальном распределении два параметра, т.е. l = 2.

Пусть уровень значимости α = 0.05, определим χ2 критическое по специальной таблице (Гмурман, приложение5, с .329) (χ2)_критич=7.8.

 

Вывод: (χ2)_наблюд> (χ2)_критич в данном случае неравенство не выполняется. Следовательно, нулевая гипотеза о нормальном распределении случайной величины Х не принимается.