Прямая и плоскость в пространстве. Кривые 2-го порядка. Комплексные числа

«Прямая и плоскость в пространстве. Кривые 2-го порядка. Комплексные числа.»

Задание №1.

Даны точки A(1;2), B(5;6), C(-3,-4).  Составить уравнения сторон ΔABC, уравнение медианы AM и высоты AT. Найти длину стороны AB и высоты AT.

Решение:

Уравнение стороны АВ находим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

4x+4y+4=0

        Уравнение стороны  АВ   4x+4y+4=0.

Уравнение стороны BC находим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

-10x+8y+98=0

        Уравнение стороны BC   -10x+8y+98=0.

Уравнение стороны AC находим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

-6x+4y-2=0

        Уравнение стороны AC    -6x+4y-2=0.

        Составим уравнение медианы AM  выходящей из угла А к середине стороны BC.

        Находим координаты точки M :

x====1

y====1

M(1;1).

Уравнение медианы AM уравнение прямой, проходящей через точки A(1;2) и M(1;1):

-x+1=0.

Уравнение медианы AM   -x+1=0.

Уравнение высоты AT уравнение прямой, перпендикулярной прямой BC и проходящей через точку C(-3,-4).

(y-y)=k(x-x)

Из условия перпендикулярности прямых имеем:

k=-=-=-1

(y-y)=-1 (x-x)(y-(-4))=-1 (x-(-3)) y+4=-1(x+3) y+4=-x-3

x+y+7=0

Уравнение высоты AT     x+y+7=0

Найдем длину стороны AB:

===

==32

Длина стороны AB=32.

Найдем длину высоты AT опущенной из вершины A(1;2) на прямую BC с уравнением  -10x+8y+98=0.

===

==

Длина высоты AT равна .

Задание №2.

Привести к каноническому виду уравнение прямой:

Решение:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

A(0;-1;1)

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

m===0

n===-10

p===15

Тогда канонические уравнения прямой:

Задание №3.

Привести уравнение кривой 2-го порядка к  каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой .

Приведём уравнение к каноническому виду:
2*(x^2-6x)+y^2+10=0
2*(x^2-6x+9)-18+y^2+10=0
2*(x-3)^2+y^2=8
((x-3)^2)/4 + (y^2)/8 = 1.
Получили уравнение эллипса с полуосями a=2 и b=2*sqrt(2). c^2=b^2-a^2 (так как b<a), c=2. Значит, фокусы F1 и F2 эллипса имеют координаты: F1(2;0), F2(4;0).

Теперь преобразуем уравнение прямой x+y-2=0:
x+y=2
x/2 + y/2 = 1 (уравнение прямой "в отрезках").
Отсюда находим, что прямая пересекает оси координат в точках (2;0) и (0;2).

Графическое изображение данных эллипса и прямой см. http://rapidshare.com/files/51249335/graphic1.gif

Теперь найдём точки их пересечения. Составим и решим систему уравнений:

2x^2+y^2-12x+10=0,
x+y-2=0

2x^2+y^2-12x+10=0,
y=2-x

2x^2+(2-x)^2-12x+10=0,
y=2-x

3x^2-16x+14=0,
y=2-x

x1=(8+sqrt(22))/3, x2=(8-sqrt(22))/3,
y1=(-2-sqrt(22))/3, y2=(-2+sqrt(22))/3

Эллипс и прямая имеют две точки пересечения: ((8+sqrt(22))/3; (-2-sqrt(22))/3) и ((8-sqrt(22))/3; (-2+sqrt(22))/3).

Задание №4.

Построить гиперболу . Найти действительную и мнимую полуоси координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптоты. Найти каноническое уравнение гиперболы.

Задание №5.

Построить эллипс . Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет. Найти каноническое уравнение эллипса.

Задание №6.

Построить параболу . Найти координаты фокуса, уравнения директрисы.

Задание №7.

Найти уравнение плоскости, проходящей через т. M1(1;-1;2), M2(2;1;2), M3(1;1;4).

http://www.reshmat.ru/pl3points.html?a11=1&a12=-1&a13=2&a21=2&a22=1&a23=2&a31=1&a32=1&a33=4&step=2

Задание №8.

Найти точку пересечения прямой и плоскости:

,  .

http://www.reshebnik.ru/solutions/9/13

Задание №9.

Найти комплексные корни уравнения: .

Задание №10.

Представить комплексное число z=-1+i в тригонометрической форме и в показательной форме.

Задание №11.

Вычислить: