Развитие аналитической работы

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

Развитие аналитической  геометрии 

 

Выполнила

студентка

  физико-математического

факультета

V курса, группы “Г”

Гуленкова Оксана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Могилев 2002. 
Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии  имело к началу XVII в. долгую историю. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадратных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неоднократно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометрическая алгебра, в которой место вычислений занимали построения отрезков.

Бурные успехи символической  и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Первоначально работы в этом направлении не выходили за пределы традиционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым последовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно изданном труде «О математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Виета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение треугольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относительно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и показал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его корни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично иррациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит сравнительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее развиты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение принадлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень  многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге которого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ математики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631)¹, отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовляла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой является уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых корнями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхностей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или координатами.

Координаты появились еще в  древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной поверхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид координат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свойства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фигуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых координат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометрической алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой  геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным  образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или  полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диаметра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку проведенными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x). В своем упоминавшемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые

 

выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)², а второе — quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, укоренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техническим термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геометрии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических сечений» — Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applicata, Декарт — appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое незадолго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латинском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово  «ордината» начинает вытеснять в геометрии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенными, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который  у Аполлония относился к взаимно перпендикулярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; двадцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.

Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой  аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских математика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности уравнений.

Ферма формулирует принцип  аналитической геометрии следующим  образом: «Всякий раз, когда в  заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»³. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямолинейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебраически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рассматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через  начальную точку, Ферма выводит в форме

D на А равно В на Е,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу состоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с - dx = by Ферма переходит к d (r - х) = by, где dr = с. Идею преобразования координат путем параллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в следующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b² - x² = у², он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b² - 2dx = у² + 2rу.

 

Для этого он производит дополнение до квадрата

p¹ - (х + d)² = (у + r)², где р² = r² + b² + d²,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p² - x² = у².

Следует заметить все  же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрицательных координатах, какими оказываются координаты центра (-d, -r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b² - x²)/y² = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Любопытно, что на рисунке в последнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b² - 2x² = 2xy + у² Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют переходу к новой системе координат X, Y с прежним началом и осью ординат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = х, Y = x + у, так что (2b² — X²)/Y² = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние  относительно плоских и телесных мест»⁴. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созданию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое нынешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.⁵

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта  заключался в следующем: какие линии  служат предметом геометрии? Ответ  определялся верой Декарта в то, что единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются им предшествующими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»⁶. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»⁷. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... = x_n : b.

Уравнения описываемых  этим прибором линий

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ   (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в  общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование  линий являлось отправным пунктом  геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»⁸. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»⁹. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.