Рассчет временных характеристик методом преобразований Лапласа

 

 

• Другие свойства

 

 

 

Линейность

 

 

Умножение на число

 

 

 

1.2 Временные характеристики

 

Временные характеристики представляют собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. В ТАУ используются два вида временных характеристик:

-переходная характеристика (переходная  функция);

-импульсная переходная характеристика (функция веса).

Переходная функция  , иногда называют переходной процесс — в теории управления реакциядинамической системы на входное воздействие в виде функции Хевисайда, при заданных начальных условиях. В электронике переходную функцию часто определяют как изменение выходных сигналов системы как реакцию на изменение входного сигнала от нуля до единицы за достаточно короткий промежуток времени. С практической точки зрения знание того, как система реагирует на быстрое изменение входного сигнала, является важным, поскольку скачок во входном сигнале может оказать серьёзное влияние на поведение всей системы или каких-то её компонент. Помимо этого, по виду переходной функции можно судить об устойчивости системы, времени переходного процесса, величине перерегулирования, статической ошибке и других динамических характеристиках системы.

Зная переходную характеристику, можно определить реакцию   линейной системы (или линеаризованной) на произвольное входное воздействие   с помощью интеграла Дюамеля:

,

где символически обозначено:   — свёртка двух функций,   — производная воздействия по времени.

Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды.

 

 

1.3 Частотные характеристики

 

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. Рассмотрим такой режим.

Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие

,

где xmax – амплитуда, а ω – угловая частота этого воздействия.

По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе. Т.е. в установившемся режиме выходная величина звена

,

где ymax – амплитуда выходных установившихся колебаний.

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд A = ymax / xmax  и сдвига фаз φ выходных и входных установившихся колебаний.

Эти зависимости называются соответственно А(ω) – амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и φ(ω) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Примерный вид этих характеристик у обычных инерционных звеньев изображен на рис.3.1,а и б. Как показано на этих рисунках, у таких звеньев в силу их инерционности амплитудная частотная характеристика по мере увеличения частоты в конце концов спадает до нуля. При этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его амплитудная частотная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускаемых звеном частот, или, просто, его полоса пропускания.

Теоретически частотная характеристика продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение амплитуд А = 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не изменяется (считается, что в диапазоне от –ωП до +ωП элемент системы управления пропускает гармонический сигнал без заметного ослабления). Полоса пропускания ΔωП = 2ωП. Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая максимуму амплитудной характеристики, называется резонансной (ωр). Частота, на которой коэффициент усиления входного сигнала равен единице, называется частотой среза ωс.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые элементом системы управления на различных частотах.  У обычных инерционных звеньев, как показано на рис.3.1,б, при положительных ω ФЧХ всегда отрицательна (φ < 0), т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.

Обыкновенные амплитудная и фазовая частотные характеристики можно объединить в одну характеристику – амплитудно – фазовую частотную характеристику (АФЧХ), используя А(ω) и φ(ω) в качестве полярных координат (рис.3.2). Строится она на комплексной плоскости. Каждая точка АФЧХ соответствует определенному значению частоты ω. Совокупность всех точек при изменении частоты от нуля до бесконечности представляет собой непрерывную линию (которая называется годографом), соответствующую частотной передаточной функции W(jω). Значения ω для конечного количества точек характеристики наносятся вдоль характеристики, как показано на рис.3.2. Имея АФЧХ, можно по этим точкам построить характеристики А(ω) и φ(ω).

АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W(jω) ω на – ω получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отражением АФЧХ для положительных частот относительно вещественной оси. На рис. 3.2 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.

АФЧХ можно строить и в прямоугольной системе координат – в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рис.3.2 проекции U  и  V вектора А на соответствующие оси. Зависимости U(ω)  и   V(ω) называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.

В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово «частотная», говоря просто об амплитудной характеристике, фазовой характеристике.

 При исследовании САУ  амплитудную и фазовую частотные  характеристики удобно строить  в логарифмических координатах.

 

 Это связано с двумя  обстоятельствами. Во-первых, в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями.

Второе удобство связано с построением АЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев, т.е. в логарифмическом масштабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.

АЧХ в логарифмических координатах (Рис. 3.3) строится в виде зависимости 20lg A от lg ω, называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ), а фазовая – в виде зависимости φ от lg ω, называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ).

Величина 20 lg A обозначается L. В качестве единицы этой величины используется децибел, равный одной десятой бела. Бел – это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д. Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lg A2 = 2 lg A, то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд А, равно 2 lg A. Соответственно в децибелах оно равно 20 lg A. При этом существуют следующие соотношения между значениями A  и  L:

 

А	0.001	0.01	0.1	0.316	0.89	1	1.12	3.16	10	100	1000
L,дБ	-60	-40	-20	-10	-1	0	1	10	20	40	60

 

При применении ЛАХ логарифмическая фазовая характеристика строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде зависимости φ от lg ω, чтобы обе характеристики были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, т.к. фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях.

На оси абсцисс указываются либо прямо значения  lg ω, либо, что практически более удобно, значения самой частоты ω. В первом случае единицей приращения lg ω является декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз. Применяется также деление оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза. (Одна октава равна 0.303 декады, т.к. lg 2 = 0.303).

Заметим также, что, т.к. при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая ω=0, находится слева в бесконечности, логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значения ω, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс соответствует частоте среза ωс. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А<1 (ослабление амплитуды).

Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функции. Если в выражение передаточной функции звена W(s) подставить s = jω, то получится комплексная величина W(jω), которая представляет собой функцию ω и является амплитудно-фазовой частотной (или просто частотной) характеристикой звена. Ее модуль представляет собой амплитудную частотную характеристику А(ω), а аргумент – фазовую частотную характеристику φ(ω).

                                      (3.1)

Формула (3.1) определяет искомую связь передаточной функции с частотными характеристиками звена, указанную выше: модуль частотной функции W(jω) есть А(ω), а аргумент - φ(ω).

Если представить W(jω) не в показательной, а в алгебраической форме, т.е.

,                                  (3.2)

то здесь U(ω)  и  V(ω) будут введенными ранее действительной и мнимой частотными характеристиками, являющимися координатами амплитудно-фазовой характеристики в комплексной плоскости.

Согласно (3.1) и (3.2), связь между приведенными выше частотными характеристиками следующая:

Порядок получения выражения для перечисленных выше частотных характеристик по передаточной функции звена несложен. После подстановки в выражение для передаточной функции получаем:

,

где индексами R и Q  отмечены части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.

После освобождения от мнимости в знаменателе окончательно имеем:

,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РАСЧЕТНЫЙ РАЗДЕЛ

 

2.1 Нахождение  временных характеристик методом  преобразования Лапласа

 

Дано: дифференциальное уравнение системы

a2• y(2)(t) + a1• y(1)(t) + a0• y(t) = b1• u(1)(t) + b0• y(t)

Номер варианта	Коэффициенты дифференциального уравнения					Начальные условия
	a2	a1	a0	b1	b0	y (-0)	y(1) (-0)
17	1	15	50	20	50	0	0

 

Требуется рассчитать:

1. Переходную h(t) функцию;
2. Импульсную переходную ϖ(t) функцию.

 

Решение:

y(2)(t) + 15• y (1)(t) + 50• y(t) = 20• u (1)(t) +50• u(t)

При нулевых начальных условия преобразование Лапласа для производных функций x(t) найдется по формулам:

L(x(1)(t))=s•X(s)                                                            (1)

L(x(2)(t))=s2•X(s)                                                            (2)

Здесь X(s)- изображение Лапласа функции x(t):

X(s)=L(x(t))                                                               (3)

Выполним  преобразование Лапласа:

L: y(2)(t) + 15• y (1)(t) + 50• y(t) = 20• u (1)(t) +50• u(t)

L(y(2)(t))+15L(y (1)(t))+50L(y(t))= 20L(u (1)(t))50L(u(t)).

Следовательно, уравнение в изображениях по Лапласу принимает вид:

s2Y(s)+15 sY(s)+50Y(s)= 20 sU(s)+50U(s),

Здесь Y(s)= L(y(t)), U(s)= (u(t)). В левой части уравнения вынесем Y(s), в правой U(s) как общие множители, получим:

(s2+15s+50)Y(s)=(20s+50)U(s),

Откуда выразим Y(s)