Решение задачи по эконометрии

Завдання 1.

Виходячи  із сукупності спостережень за доходом  деякого підприємства (y) і  розміром оборотних коштів (x)(Таблиця1), необхідно виконати наступні завдання:

1. Побудувати лінійне рівняння парної регресії від .
2. Розрахувати коефіцієнти детермінації, кореляції та середню похибку апроксимації.
3. Оцінити статистичну значимість параметрів регресії й кореляції за допомогою -критерію Фішера й -критерію Стьюдента.
4. Виконати прогноз  доходу y при прогнозному значенні оборотних коштів x, що становить 107% від середнього рівня.

                                                          Таблиця1

N  спостереження	Дохід підприємс-тва  Y, тис.грн.	Розмір оборотних коштів X, тис.грн.
1	120	6
2	100	6
3	120	8
4	125	9
5	130	10
6	140	11
7	140	12
8	145	13
9	150	13
10	155	14
11	150	14
12	160	16

 

Розв’язок:

1. Для розрахунку параметрів рівняння лінійної регресії будуємо розрахункову таблицю

 

 

 

 

 

 

Таблиця2

№	х	y	ух	x2	y2
1	124	81	10044	6561	17689	137	-13,01	169,1311	10,48793665
2	131	77	10087	6724	21904	133,2	-2,216	4,911145	1,691687206
3	146	85	12410	7569	17956	140,8	5,206	27,10272	3,565772148
4	139	79	10981	6241	23716	135,1	3,889	15,12762	2,798146873
5	143	93	13299	7921	26244	148,4	-5,372	28,85661	3,756528034
6	159	100	15900	11236	38025	155	3,998	15,98029	2,514173138
7	135	72	9720	4489	19321	128,5	6,52	42,5111	4,829669463
8	152	90	13680	7744	24964	145,5	6,47	41,85913	4,256489027
9	127	71	9017	5329	23104	127,5	-0,533	0,283784	0,419459387
10	154	89	13706	7569	26244	144,6	9,417	88,6817	6,114997483
11	127	82	10414	5776	25281	138	-10,95	119,9523	8,623837996
12	162	111	17982	13225	29929	165,4	-3,422	11,71026	2,112361447
	1699	1030	147240	90384	294377	1699	-3,55E-13	566,107775	51,17105886
Середнє значення	141,5833	85,83333	12270	7532	24531,42	141,5833	-2,96E-14	47,17564792	4,264254905
	13,14	11,63
	171,81	135,24

 

Ідентифікуємо змінні:

 — дохід підприємства  (залежна змінна);

       —розмір оборотних коштів (незалежна змінна).

Нехай специфікація моделі визначається лінійною функцією і а має такий вигляд:

,

де   –– параметри моделі;

 –– стохастична складова, залишки.

Оцінимо параметри  моделі за методом 1МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:

n = 12 –– кількість спостережень.

Підставимо  в цю систему величини n, , ,   , які розраховані на основі вихідних даних таблиці 2. Тоді система набуде такого вигляду:

Розв’яжемо  цю систему відносно невідомих параметрів .

Таким чином, економетрична модель запишеться таким рівнянням лінійної регресії:

.

2. Для оцінки  тісноти лінійного зв'язку розрахуємо  коефіцієнт кореляції:

, де

де  ,

 

Оскільки  коефіцієнт детермінації R² = 0,70, це свідчить, що варіація доходу підприємства на 70% визначається варіацією розміру оборотних коштів . Коефіцієнт кореляції характеризує тісний зв’язок між цими соціально-економічними показниками. Величини R² і R для парної економетричної моделі свідчать про її достовірність, якщо вони наближаються до одиниці.

 

Якість моделі визначає середня похибка апроксимації:

Похибка апроксимації в межах 5-7% свідчить про  хороший добір моделі до вихідних даних.

3. Розрахуємо F- критерій.

 

 

, .

-гіпотеза про статистичну незначимість рівняння регресії відхиляється.

Оцінку  статистичної значимості параметрів регресії проведемо за допомогою t-статистики Стьюдента.

Висуваємо гіпотезу H₀ про статистично незначущу відмінність показників від нуля:

t_табл  для числа ступенів свободи й складе 2,23.

Визначимо  фактичні значення -критерію Стьюдента

   

Випадкові похибки параметрів лінійної регресії та коефіцієнта кореляції визначаються за формулами:

   

  

 

Тоді

   

Фактичні значення t-статистики перевершують табличні значення:

   

 

Тому гіпотеза H₀ відхиляється, тобто не випадково відрізняються від нуля, а статистично значимі.

4. Отримані оцінки рівняння регресії дозволяють використати його для прогнозу. Якщо прогнозне значення розміру оборотних коштів складе: , тоді прогнозне значення доходу підприємства складе: тыс. руб.

Висновки. Економетрична модель кількісно описує зв’язок між доходом підприємства  і розміром оборотних коштів.

Параметр  характеризує граничну величину доходу підприємства, коли розмір оборотних коштів збільшується на одиницю, тобто при збільшенні розміру оборотних коштів на одиницю дохід  підприємства  зростає на 0,73 одиниці .