Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка с использованием конечно-разностных уравнений

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)»

 

Факультет   Информационные системы в управлении

Специальность  090105 Комплексное обеспечение ИБ АС

Кафедра   Информационная безопасность

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине: «Вычислительная  математика»

на тему: «Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка с использованием конечно-разностных уравнений»

 

 

 

Выполнил:

студент группы БИ-10И1

Диппель А.А.

 

Руководитель:

доцент кафедры ИБ

Епифанцева М.Я.

Омск – 2012 г

Содержание

Аннотация……………………………………………………………………………………………….…3

 

1.Обзор литературы…………………………………...………………………………...………………...4

 

1.1  Общая постановка краевой задачи………………..……………………………...………………4

 

1.2 Метод конечных разностей……..……………………………………...………………………….6

 

1.3 Метод прогонки…………………  …... ……………...…………………………………………...9

 

2. Разработка блок – схемы…………………………...…………………………………………………16

 

2.1 Алгоритм…………………………………………………………...……………………………..16

 

2.2  Блок – схема………………………………………………………..…………………………….17

 

3. Отладка программы……………………………..………………………………………………….....18

 

3.1 Код программы………………………………………………………...…………………………18

 

     3.2 Решение контрольного примера……………………………………….……………………….. 20

 

     3.3 Результат программы…………………………………………………….……………………….21

 

Список литературы………………………………………………………………………………………22

 

 

 

 

 

 

Аннотация

В данной курсовой работе описывается  метод решения краевой задачи линейного дифференциального уравнения  второго порядка с использованием конечно-разностных уравнений, а также  метод прогонки, использующийся для решения «трехчленной системы» линейных алгебраических уравнений, полученной  при применении конечно-разностных уравнений.

Рассчитан контрольный пример:

 

y''+y'/x+2y=x              y(0,7)=0,5;             2y(1)+3y' (1)=1,2

 

Отрезок [0,7 ; 1] разбит на 10 частей. Полученная система линейных уравнений  решена методом прогонки.

Программа выполнена в  программной среде Delphi 7.

 

 

1. Обзор литературы

1.1 Общая постановка  краевой задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-ro порядка ( n2)

 

                           F(x, y, y^′,…,y⁽ⁿ⁾)=0                                                         (I)

 

Краевая задача для уравнения (I) заключается в следующем: найти решение у = у(х) уравнения (I), для которого значения его производных

 

 

 

в заданной системе точек x = x_i (i = 1, 2, ... , k; k≥2) удовлетворяют n независимым между собой краевым условиям, в общем случае нелинейным:

 

            (II)

 

Так как в силу уравнения (I) производные y^(S) порядка п и выше могут быть в общем случае выражены через искомую функцию у и ее младшие производные у', у", ... , y^(n-1), то можно считать, что

 

 

Краевая задача (I)—(II) часто встречается в приложениях. Приведем примеры конкретных краевых задач.

 

Пример 1. Простейшая двухточечная краевая задача. Найти функцию

у = у(х), удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка

 

                                               y" = f(x, у, у')                                                   (III)

 

и принимающую при х = а и х = b (а < b) заданные значения

у(а) = А;  у(b) = В.

Рис. 1. Интегральная кривая,  проходящая через данные точки М (а, А) и N (b, В)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую

дифференциального уравнения (III) , проходящую через данные точки М (а, А) и N (b, В) (рис. 1).

 

Пример 2. Видоизменением задачи, приведенной в примере 1, будет: найти такое решение у = у (х) дифференциального уравнения (III), чтобы

у'(а) = А₁, у’ (b) = B₁.

Геометрически эта задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения (III), пересекающей прямые х = а и х = b под заданными соответственно углами α и β такими, что

 

tgα = A₁ и tg β =B₁

(рис. 2)

 

 

     Рис. 2.  Интегральная кривая, пересекающая прямые х = а и х = b

 

Пример 3.  Можно рассмотреть также смешанную краевую задачу: найти решение

у = у (х) дифференциального уравнения (III), удовлетворяющее условиям

у(а) = А, y′(b) = B₁.

Иными словами, требуется  найти интегральную кривую уравнения  (III), проходящую через заданную точку М (а, А) и пересекающую прямую х = b под данным углом β, где tgβ  =B₁ (рис. 3).

 

 Рис. 3. Интегральная кривая, проходящая через заданную точку М (а, А) и пересекающая прямую х = b.

 

Заметим, что общая краевая задача (I)—(II) может

а) не иметь решений;

б) иметь единственное решение;

в) иметь несколько и даже бесконечно много решений.

 

Пример 4. Краевая задача

 

y^′′ + y = 0,    y(0) = у (π) = 0

 

имеет бесконечно много решений вида у = с sinx , где с—произвольная постоянная.

 

Краевая задача

y′′ + y=0 ,  у(0) = 0,  у(b) = 1

при 0 <b< π имеет единственное решение  ,  а при b = π совсем не имеет решений .

 

В дальнейшем, как правило, будем предполагать, что решение  краевой задачи существует и оно  единственно. Наша цель будет заключаться  в нахождении этого решения.

 

1.2 Метод конечных разностей

 

 

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

 

                                    y"+p(х) у' + q(х) у =f(x)                                           (1)

 

с двухточечными линейными  краевыми условиями

 

    

                            (2)

 

где р(х), q (х) и f(x) непрерывны на отрезке [а,b].

 

Одним из наиболее простых  методов решения этой краевой  задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого разобьем основной отрезок [а, b] на n равных частей длины h (шаг), где

 

Точки разбиения имею абсциссы:

 

x_i = x₀ + ih (i = 0, 1, 2, ..., n), x₀=a , x_n=b.

 

Значения в точках деления х_i искомой функции у = у (x)

 

 

    Рис. 4 Разбиение функции y=y(x) на отрезки длиной h

 

и ее производных у' = у'(х), у" = у"(х) обозначим соответственно через

y_i =y(x_i), у'_i= у'(x_i), у" _i= у"(x_i). Введем также обозначения: p_i=p(x_i), q_i= q(x_i), f_i=f (x_i).

Заменяя производные симметричными  конечно-разностными отношениями для внутренних точек x_i отрезка [а, b], будем иметь

 

                 

                                          (3)

 

Для концевых точек x₀=a  и x_n=b, чтобы не выходить за пределы отрезка [a,b], можно положить

 

                            

                      (4)

 

Однако если функция у = у (х) достаточно гладкая, то более точные значения дают формулы (5) и (6)

 

             

 

Действительно, полагая, например, y₁= y(x₀+h) и у₂=y(x₀+2h) и используя формулу Тейлора, будем иметь:

Отсюда:

 

где через 0(h²)обозначена величина порядка h². Аналогично показывается, что

 

 

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во

внутренних точках x = x_i(i=1, 2,…,n-1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

 

Кроме того, в силу формул (5) и (6) краевые условия (2) дополнительно  дают еще два уравнения:

                                               (8)

 

Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными у₀, y₁ , у₂, ..., y_n, представляющими собой значения искомой функции у = у (х) в точках x_0, x₁, х₂,...,х_п. Решив эту систему, если это возможно, получим таблицу значений искомой функции у.

 

Пример 1. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи

 

                                

                                    (9)

 

Рис 5. Графическое изображение примера 1.

 

Механически уравнения (9) представляют собой дифференциальные уравнения для изгибающего момента некоторого бруса с переменным поперечным сечением и шарнирно закрепленными концами.

Для грубого решения выберем  шаг h= 1/2.

Полагая х-₂=— 1, х-₁=-1,2,х₀ = 0, х₁=1/2, х₂= 1, ввиду симметрии уравнения и краевых условий будем иметь y_-2=y₂=0 и y_-1=y₁ (рис 2). Таким образом, нужно определить лишь две ординаты у₀ и y_1.

Полагая х = 0 и пользуясь симметричными формулами для производных, будем иметь

где y_-1=y₁. Аналогично при x=1/2 получаем

 

Следовательно, используя  краевое условие y₂=0, имеем систему

откуда y₀=0,967;  y₁=0,721.                                                       [1]

 

 

3. Метод прогонки

 

Существует множество  способов решения системы линейныхуравнений.

Среди них выделяют:

Прямые методы

• Метод Гаусса
• Метод Гаусса — Жордана
• Метод Крамера
• Матричный метод
• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
• Метод вращений

Итерационные методы

• Метод Якоби (метод простой итерации)
• Метод Гаусса — Зейделя
• Метод релаксации
• Многосеточный метод
• Метод Монтанте
• Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)                [4]

                                                                                                                    

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение  в результате последовательных приближений.                       При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная система» линейных алгебраических уравнений, каждое из которых содержит три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан специальный метод, получивший название метода прогонки.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (1)

 

у" + p(х)y'+ q (x)y=f(x)

 

с двухточечными линейными  краевыми условиями (2)

 

 

в предположении, что функции р(х), q(x),f(x) непрерывны на [а,b].

От дифференциального  уравнения (1) обычным приемом перейдем к конечно-разностному уравнению. Для этого разобьем отрезок [a,b]

на п равных частей с шагом .  Полагая х_i= х₀ + ih,х₀ = а, x_n = b (i= 0, 1, 2, ..., п) и вводя обозначения:  p_i=p(x_i), q_i= q(x_i), f_i=f (x_i), y_i =y(x_i), для внутренних точек x = x_i;

(i = 1,2,…,n-1) отрезка [а,b] вместо дифференциального уравнения (1) из предыдущего параграфа получаем систему конечноразностных уравнений (7)

 

 

Преобразуем систему к  виду :

 

          (10)

Имеем систему уравнений (7):

 

 

 

Домножим обе части  на h²:

 

 

Сгруппируем части с y_i+1, y_i, y_i-1:

 

 

 

Разделим обе части  на  :

 

 

В итоге получаем:

               (11)

 

 

Для производных на концах х₀ = а и х_n=b берем односторонние производные (4):