Решение логарифмических уравнений и неравенств в свете требований ФГОС

 

 

Дагестанский институт повышения квалификации педагогических кадров

 

 

 

 

 

 

 

 

Проектная работа на тему:

«Решение логарифмических уравнений

 и  неравенств  в свете требований ФГОС»

 

                                         

 

 

 

                                               Выполнила: учитель математики

гимназии № 17 г. Махачкала

                                                         Саратовкина Л.Г.

 

 

 

 

Махачкала – 2015 г.

Содержание

Введение. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . 4
1. Логарифмические уравнения, решение которых основано на определении логарифма . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .4
2. Уравнения, решаемые логарифмированием . . . . . . . . . . . .. . .  7
3. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием . 8
4. Решение уравнений вида f(logag(x)) =0, где f(x) – некоторая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . .  11
5. Решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому. . . . . . 14
6. Уравнения, содержащие неизвестные в основаниях

логарифмов  и показателях степеней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7. Уравнения, содержащие логарифм в показателе степени. . . 18
8. Решение уравнений вида . . . . . . . . .  19
2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1. Избранные методы решения логарифмических неравенств..21
1. Метод равносильных преобразований. .. . . . . . . . . . ..  21
2. Решение логарифмических неравенств методом  

      интервалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2. Метод рационализации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  

Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

 

 

Введение

     Темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства » занимают важное место в курсе школьной математики. Они богаты по содержанию, по способам и приемам решения, по возможностям их применения.

     Уравнения  и неравенства широко используются  в различных разделах математики, в решениях важных прикладных  задач.

     Несмотря на  значительный положительный опыт  в методике преподавания этих  тем, как показывает анализ результатов тестов, контрольных работ, результаты ЕГЭ, учащиеся недостаточно полно владеют знаниями и умениями по решению логарифмических уравнений и неравенств.

     Тема «Логарифмические  неравенства» активно представлена  на экзаменах за курс основной  общеобразовательной школы. Решению  логарифмических уравнений и  неравенств в вариантах ЕГЭ  по математике  посвящены задания №6 в части І и задания № 10 и 17  в части ІІ. Научиться решать эти задания из ЕГЭ по математике должен каждый  выпускник, если он хочет , чтобы количество баллов за экзамен было конкурентно способно при поступлении в ВУЗ.

Основная цель этих заданий – проверка умения анализировать задачу, выбирать математическую модель, использовать рациональный метод решения и уметь применять теоретические знания к решению задач.

Таким образом , перед учителем встает задача: спланировать  изучение этих тем таким образом. Чтобы учащиеся получили максимальный объем информации, успели закрепить навыки на достаточном количестве примеров, а осознав изученный материал, расширили набор методов решения и порой использовали  и методы, не вошедшие в учебник.

 

1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. Логарифмические уравнения,  решение которых

основано на определении логарифма.

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные под знаком логарифма или в его основании.

А)  Уравнение loga f(x) =b, Где а  и а›0, равносильно уравнению f (x) = ab . Так как аb ›0, то при х0 таком, что f (x0) = ab  , f (x0) ›0, то находить область допустимых значений уравнения или делать проверку не  надо.

Пример 1. Решить уравнение  log3 (x2 – 4х + 6) = 1

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению  x2 – 4х+ 6=3; x2 – 4х+ 3=0, т.е. х1=1, х2=3.

Ответ: 1; 3.

Пример 2. Log2log3 log3 x=0.

Решение. Log2 (log3 log3 x) =0  равносильно log3 (log3 x)=1, log3 x=3, х=27.

Ответ: 27.

Пример 3.  Log3log3 log2  =0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнениям:

log3 log2 = 1; log2 =3;  =8;  1-х = ; x =  .

Ответ:   ¾ .

б)  Уравнение  logg(x) f(x) = b равносильно системе 

     Можно решить уравнение f(x)=gb (x) , проверив при найденных корнях выполнение неравенств g(x)1 и g(x)>0. Поскольку f(x)=gb (x)>0, то выполнять проверку неравенства f(x)>0 нет необходимости.                                                                                        

Можно найти область определения, решив систему неравенств   Можно решить приведенное выше уравнение  f(x)=gb (x) и непосредственной подстановкой значений найденных корней в уравнение logg(x) f(x)=b, проверить их, помня при этом об области определения, т.е. о выполнении неравенств, приведенной выше системы.

Пример 4.  Log2-x (x2+ 3x -6) = 1.

Решение. Область определения уравнения системы имеет вид

Решая данное уравнение, получим x2+ 3x -6=2-х; x2+ 4x -8=0; х1,2 = -2±2 Оба корня входят в ОДЗ и следовательно являются решением уравнения.

Ответ: -2±2.

Пример 5.  Log2х-3 (3х2-7х+3) – 2 =0.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению (2х-3)2=3х2-7х+3 или х2- 5х += 6 =0. Числа  2 и 3 – корни квадратного уравнения. Подстановка х=2 в исходное уравнение дает в основании 1, что противоречит определению логарифма. При х=3 получаем верное равенство log39-2=0.

Ответ: 3.

В) Решение уравнений вида   где а>0,а1,b>0 сводится к решению равносильного уравнения  f(x)=b.

     При решении  уравнений вида  = b, b>0 , обязательна либо проверка неравенств g(x)0, g(x) 1, либо непосредственная проверка. Выполнять проверку f(x)˃ 0 не обязательно, так как f(x)= b ˃0.

Пример 6. =9.

Решение. Область определения уравнения задается неравенством х-2˃0, то есть х˃2.           )2. Значит ( х-2)2=9, х-2=3 и х=5 –корень данного уравнения. Решая х-2=-3, находим х=-1, который является посторонним корнем.

Ответ: 5.

Пример 7.   

Решение. Областью определения уравнения является решение  системы неравенств

Согласно свойству логарифма имеем х2- 2x=3; х2- 2x-3=0; х1=-1, х2=3.Корень х1=-1 является посторонним, так как не удовлетворяет неравенству х2+x>0. Подстановка корня х=3 обращает уравнение в верное равенство.

Ответ : 3.

Пример 8.  Logcos x sin x =1.

Решение.

Система неравенств Является областью определения данного уравнения. Следовательно х – угол первой четверти. Решая однородное уравнение sin x= cos x, получим tg x=1, x=. Из полученных корней выбираем лишь значения х, принадлежащие первой четверти:  х=.

Ответ:   .

Пример 9. Log sin x (2 sin2x + 4 sin2 x +1 )= 0.

Решение. Решение данного уравнения равносильно решению системы

4sinx cosx=4sin2x=0,                                                                                                                                                       4sinx (cosx + sinx) = 0,                                                                                                                                                          (cosx + sinx) = 0,                                                                                                                                                                     tgx =-1, следовательно x=

Ответ: x=

2. Уравнения, решаемые логарифмированием.

К  этому типу уравнений можно отнести уравнения, содержащие неизвестные в основаниях логарифмов и показателях степеней выражений, стоящих под логарифмами. Рассмотрим  их решение на примерах.

Пример 1. Решить уравнение    = 8x

Решение. Область определения уравнения – неравенство х ˃ 0. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим     log2 ()= log2 (8x);  (log2 x – 1) log2 x= 3 + log2 x. Введем переменную  t = log2 x , получим квадратное уравнение t2 – 2t – 3=0, решая которое находим t= -1 и t=3. Таким образом log2 x = - 1, х = ½  и  log2 x=3,  х = 8.

Ответ: 0,5; 8.

Пример 10. Решить уравнение = 9x.

Решение. Область определения исходного уравнения   Прологарифмируем уравнение по основанию 3. Получим x=log39x. Применяя соответствующие свойства логарифмов, получим уравнение x – log3x -2=0. Полагая t= log3x, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Корнями его являются числа 2 и -1. Возвращаясь к прежней переменной имеем log3x=2, x=9  и log3=-1, x=. Оба корня входят в область определения.

Ответ:  ; 9.

3. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.

При решении логарифмических уравнений часто применяются формулы:

  logc a + logc b= logc (ab)     ( a0 , b˃0; c˃0, c 1 );          (1)

logc a – logc b= log (2)

k logc a = logc ak                   ( a˃0 , c˃0, c 1).                         (3)

Так же учитываем тот факт, что если равны логарифмы при одинаковых основаниях, то равны и выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Решение данных уравнений требует либо нахождения области определения их, либо выполнения проверки найденных корней. Общеизвестно, что уравнение  log p(x) f(x) = log p(x)  g(x) равносильно системе

   Кроме того, следует  участь, что из двух неравенств  f(x)˃0 и g(x)˃ 0  можно оставить только то, которое наиболее выгодно решающему. Отборы корней буду осуществлять на отдельных примерах.

Пример 11. Решить уравнение lg (x-4) – lg (x+4)= lg x – lg 15.

Решение. Областью определения данного уравнения является решение системы неравенств

Откуда х˃2.

С учетом формулы (2), имеем  lg    = lg    или  15 (х-2)= х2 +4х, х2-11х+30=0, х=5 и х=6.                    Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ:  5;  6.

Пример 12. Решить уравнение log5 (sin2x+ cos2x +x2)= log5 (sin2x+ cos2x +1).

Решение. Решение данного уравнения равносильно решению системы

 

Отсюда х2=1, корни уравнения х=1 и х= -1 удовлетворяют неравенству системы.

Ответ:    х=± 1.

Пример 13. Решить уравнение lg (3x+x-17)= x lg30 –x.

Решение. Область определения уравнения выражается неравенством 3x+x-17˃0.

Преобразуем правую часть уравнения x lg30 –x= lg3x+lg10x-x. Воспользуемся формулой представления любого числа а в виде логарифма по основанию с: а=logc ca (c˃0, c), тогда х = lg10x. После применения соответствующих формул и преобразований имеем   (3x+x-17)= 3x, х=17.

Ответ: 17.

 Пример 14.  Решить уравнение log32+log3log3(4-x) = log3log3(19-6x).

Решение. Для нахождения области определения решим систему неравенств

 

Применяя формулу (1), получим исходное уравнение в виде log32log3 (4-x)=log3log3(19-6x);                2log3 (4-x)=log3(19-6x);  (4-x)2=19-6x;  x2-2x-3=0. Уравнение имеет два корня х=3 и х=-1. Х=3 не удовлетворяет условию  Значит решением уравнения является х=-1.

Ответ: -1.           

Пример 15.  Решить уравнение logcos xsin x+logcosx ( sinx- 0,5)= logcosx0,5.

Решение. Область определения уравнения задается системой  Или После преобразования приходим к уравнению sin2x-0,5sinx-0,5=0  или 2sin2x- sinx-1=0. Решая его, получим sinx=1 и sinx=-0,5. Если sinx=1, то что противоречит неравенству из области определения , если sinx=-0,5, то не выполняется условие Значит исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 16. Решить уравнение        1+ log2

Решение. Решение системы неравенств дает нам область определения уравнения

  откуда х                                                                                                       Далее потенцируем  помня, что logax2k=2kloga IxI, (k: log2log2 I x-2I;  I x-2I.                                                                                                                                        Предположим х˃2, тогда =х-2; х2-2х-6=0; х= Условию х˃2 удовлетворяет корень 1+   Если х   то    -(х-2);   2(х+1)= - х2 +4; х2+2х-2=0; х= -1    Очевидна оба корня входят в указанный промежуток.

Ответ:      -1  

Пример 17.  Решить уравнение 2х-1-log3 (2·3x -9) = log3 (3x -6).

И вновь найдем область определения уравнения:

    3х˃6.                                                                                                                                                        Представим  2х-1 в виде логарифма по основанию 3:  log3 32x-1- log3 (2·3x -9) = log3 (3x -6);  log3 =log3 (3x-6) ;                      32x-1=2·32x-21·3x+54;   ·32x-21·3x+54=0. Пусть   3x = t,   t˃0;   5t2- 63t + 162=0; D=3969-3240=272,t1=9; t2=3,6. Возвращаясь к прежней переменной, получим 3x=9 и3x = 3,6. Однако, по условию 3x˃6, значит х=2.

Ответ:  2.

4. Решение уравнений вида f(logag(x)) =0,

                        где f(x) – некоторая функция.

    Как правило, решение такого вида уравнений осуществляется с помощью введения новой переменной loga g(x) =t, тогда loga g(x) =ti , где ti - корни уравнения f(t)=0. При этом необходимо выполнение условий . Аналогично решаются уравнения вида f(logm(x) g(x)) =0, но в отличие от уравнения f(logag(x)) =0 при решении данного вида уравнений необходимо либо учитывать область определения, либо выполнять проверку, так как уравнения logm(x) g(x) =y и m2(x) =g(x) не равносильны. Например, уравнения logx(x2-6) =1 не равносильно  уравнению х2-х-6=0, так как второе уравнение имеет корни х=3 и х=-1, а первое – только 3.