Решение оптимизационных задач средствами EXCEL

• если все компоненты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительны, то ЗЛП не имеет решения (конечного оптимума нет);

• если имеется хотя бы одна положительная  компонента у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности  в базис вводится вектор А_к , давший минимальную отрицательную величину симплекс разности:

                                    

Чтобы выполнялось условие неотрицательности  значений опорного плана, выводится  из базиса вектор А_r, который дает минимальное положительное оценочное отношение

                                

Строка А_r называется направляющей, столбец А_к и элемент a_{r к} – направляющими.

Элементы направляющей строки в  новой симплекс-таблице вычисляются  по формулам:

                           

 а элементы  i-й  строки  – по формулам:

             

Значения нового опорного плана  рассчитываются по формулам:

   для  i = r ;         

Процесс решения продолжают либо до получения оптимального плана, либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди симплекс-разностей (оценок) оптимального плана нулевые только оценки, соответствующие базисным векторам, то это говорит о единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему, то в общем случае это означает, что оптимальный план не единственный.

Примечание. Для использования приведенной процедуры к минимизации линейной функции f (x₁,x₂,…, x_n) следует искать максимум  - f (x₁,x₂,…, x_n), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Оптимальное решение то же.

Пример. Получить решение по модели: 

 

Эта задача (модель) линейного программирования, приведем ее к каноническому виду путем введения дополнительных переменных  x 3   и x4:

                                                                         

КЗЛП имеет необходимое число  единичных столбцов, т.е. обладает очевидным  начальным опорным планом (0,0,300,150). Решение осуществляется симплекс-методом  с естественным базисом с оформлением расчетов в симплекс-таблицах:

 

Номер			В	2	3	0	0
симплекс-	Базис		план					Q
таблицы
	А3	0	300	1	3	1	0	100
0	А4	0	150	1	1	0	1	150
		f(x)	0	-2	-3	0	0
	А2	3	100	1/3	1	1/3	0	300
I	А4	0	50	2/3	0	-1/3	1	75
		f(x)	300	-1	0	1	0
	А2	3	75	0	1	1/2	-1/2
II	А1	2	75	1	0	-1/2	3/2
		f(x)	375	0	0	1/2	3/2

 

В симплекс-таблице II получен оптимальный  опорный план,  поскольку все  симплекс-разности (оценки) j. Оптимальные значения переменных равны: x1*=75,  x2* =75 (основные переменные), x3*  =0, x4*  =0 (дополнительные переменные). Максимальное значение целевой функции равно 375.

Таким образом, в рассмотренной  выше задаче об оптимальном использовании  ограниченных ресурсов, оптимальная  производственная программа состоит  в выпуске 75ед. изделий первого  вида и 75ед. изделий второго вида. С этой программой связана максимальная выручка от реализации готовой продукции – 375 у.е.

Технология  решения задач линейного программирования с помощью Поиска решений в среде EXCEL.

 

Поиск решения - это надстройка EXCEL, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Ecли, в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду СервисÞ Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки Excel (или Office) установить надстройку Поиск решения.

 После выбора команд Сервис Þ Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения  есть три основных параметра:

• Установить целевую  ячейку

• Изменяя ячейки

• Ограничения

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск  решения — это параметр Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки — это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования. Они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который нужно  вводить, для Поиска решения – это ограничения.

 

        Для решения задачи необходимо:

1. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).
2. Ввести исходные данные.
3. Ввести зависимость для целевой функции
4. Ввести зависимости для ограничений.

Запустить Поиск решений.

5. Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).
6. Ввод ограничений.
7. Ввод параметров для решения ЗЛП.

 

Рассмотрим технологию решения используя условия   Задачи 1 (Задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Tребуется определить,  сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского - 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Сформулируем  экономико-математическую модель задачи.

Введем следующие обозначения: х₁ - число женских костюмов;     x₂ - число мужских костюмов.

Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х₁, а от реализации мужских 20х₂, т.е. необходимо максимизировать целевую функцию

f(x) = 10´ х₁ + 20´  х₂ -> max.

Ограничения задачи имеют вид:

      х₁      +        х₂ £ 150                  - ограничение по труду

2 х₁  + 0.5 х₂ £  240                 - ограничение по лавсану

       х₁ + 3.5 х₂ £  350                - ограничение по шерсти

            х₂ ³  60                 - ограничение по костюмам

            х₁ ³ 0

Решение.

 

1. Указать адреса ячеек,  в которые будет помещен результат  решения (изменяемые ячейки).

 

Обозначьте через Х₁, Х₂ количество костюмов каждого типа. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х =(Х₁, Х₂,) будут помещены в ячейках A2:B2, оптимальное значение целевой функции в ячейке C3.

 

2. Ввести исходные  данные.

Введите исходные данные задачи, как  показано на рис.1.

Рис. 1.

 

3. Ввести зависимость  для целевой функции

 

•Курсор в ячейку «С3».

•Курсор на кнопку «Мастер функций», расположенную на панели инструментов.

•М1. На экране появляется диалоговое окно «Мастер функций шаг 1 из 2»

• Курсор в окно «Категория» на категорию «Математические».

• Курсор в окно «Функции» на «СУММПРОИЗВ» (рис.2)..

 

 

Рис 2.

 

На экране появляется диалоговое окно «СУММПРОИЗВ» (рис. 3)

 

 

 

 

Рис. 3.

• В строку «Массив 1»¹ ввести А2:В2

• В строку «Массив 2» ввести А3:В3.

 Массив 1 будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку².

 

На экране: в ячейку С3 введена функция (рис. 4).

 

 

 

Рис. 4.

 

 

4. Ввести зависимости для ограничений.

• Курсор в ячейку «С3».

• На панели инструментов кнопка «Копировать в буфер».

• Курсор в ячейку «С4».

• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».

• Курсор в ячейку «С5».

• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».

• Курсор в ячейку «С6».

• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».

• Курсор в ячейку «С7».

• На панели инструментов кнопка «Вставить из буфера».

 

 

Рис.5.

 

Примечание. Содержимое ячеек С4 – С7 необходимо проверить. Они обязательно должны содержать информацию, как это показано для примера на рис.6 (в качестве примера представлено содержимое ячейки С5).

 

 

 

Рис. 6.

 

 

В строке «Меню» указатель мышки на имя «Сервис». В развернутом меню команда «Поиск решения». Появляется диалоговое окно «Поиск решения» (рис. 7).

 

 

Рис. 7.

 

5. Назначить целевую функцию (установить целевую ячейку), указать адреса изменяемых ячеек.

 

• Курсор в строку «Установить целевую ячейку».

• Введите адрес ячейки «$С$3».

• Введите направление целевой функции в зависимости от условия вашей задачи: «Максимальному значению» («Минимальному значению»).

• Курсор в строку «Изменяя ячейки».

• Ввести адреса искомых переменных А$2:В$2. (Рис. 8.)

 

 

Рис. 8.

6. Ввести ограничения

 

• Указатель мышки на кнопку «Добавить. Появляется диалоговое окно «Добавление ограничения»

• В строке «Ссылка на ячейку» введите адрес $С$4.

• Ввести знак ограничения ≤.

• В строке «Ограничение» введите адрес $D$4 (рис. 9)..

• Указатель мышки на кнопку «Добавить». На экране вновь диалоговое окно «Добавление ограничения».

• Введите остальные ограничения задачи, по выше описанному алгоритму

• После введения последнего ограничения кнопка «ОК».

На экране появится диалоговое окно «Поиск решения» с введенными условиями (рис.10).

.

Рис. 9.

 

 

 

Рис.10

 

7. Ввести параметры  для решения ЗЛП

 

• В диалоговом окне указатель мышки на кнопку «Параметры». На экране появляется диалоговое окно «Параметры поиска решения» (рис. 11).

Рис.11

 

• Установите флажки в окнах «Линейная модель» (это обеспечит применение симплекс - метода) и «Неотрицательные значения».

• Указатель мышки на кнопку «ОК». На экране диалоговое окно «Поиск решения».

• Указатель мышки на кнопку «Выполнить».

Через непродолжительное время  появится диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками А3:В3 для значений Х_i и ячейка С3 с максимальным значением целевой функции (рис.12).

 

Рис.12

 

Если указать тип отчета «Устойчивость»,  то можно получить дополнительную информацию об оптимальном решении (Рис. 13).

 

Рис. 13.

В результате решения задачи получили ответ:

Х1 = 70              -   необходимо сшить женских костюмов,

Х2 = 80              -   необходимо сшить мужских костюмов,

F(x) = 2300        что бы получить максимальную прибыль.

 

Решим еще одну задачу.

Задача 4. (Задача о коврах)

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т. п. Допустим, например, ресурсы трех видов рабочая сила, сырье и оборудование  имеются в количестве соответственно 80(чел/дней), 480(кг), 130(станко/часов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл.1.

                                                                                                                        Таблица 1

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на единицу изделия				Наличие ресурсов
	Ковер А	Ковер В	Ковер С	Ковер D
Труд	7	2	2	6	80
Сырье	5	8	4	3	480
Оборудование	2	4	1	8	130
Цена (тыс.руб.)	3	4	3	1