Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

 

Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т.е.

(причем этот ряд  сходится к F( p) при ), то оригинал имеет вид

(причем ряд сходится  при всех значениях t ).

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных

дифференциальных  уравнений с постоянными коэффициентами

 

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

где a_k –действительные числа.

Требуется найти решение  данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

x(0)=x₀, x`(0)=x`₀, …, x^(n-1)(0)=x₀^(n-1)

где x₀, x`₀, …, x₀^(n-1) – заданные числа.

Будем предполагать, что  искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

Пусть . По формулам дифференцирования оригиналов

Перейдем от данного  дифференциального уравнения к  уравнению в изображениях

Перепишем его так  , где , а

Находим так называемое операторное решение уравнения

Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.

 

7. Примеры

Пример 1.

Найти решение дифференциального  уравнения x¢¢(t)-4x¢(t)+5x(t)=0,

удовлетворяющее условиям x(0) = 0, x¢(0) = 1.

Решение. Запишем уравнение в изображениях

Вынесем Х за скобки

Найдем оригинал используя  выведенные ранее значения в таблице  приложения:

искомое решение -

 

Пример 2.

Решить дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.

Решение

 

Пример 3.

Решить дифференциальное уравнение y`+y=e^t, y(0)=0.

Решение

Перейдем к уравнению

 

Пример 4.

Найти решение уравнения  при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.

Решение

Пусть , тогда , .

Тогда

  - изображающее уравнение. Отсюда

Оригинал для правого  слагаемого известен , а оригинал для удобнее найти по теореме свертывания.

Известно, что  , поэтому

Так как  , то

Таким образом,

 

Пример 5.

Найти общее решение  уравнения  .

Решение

Для получения общего решения начальные условия зададим  так:

y(0)=C₁, y`(0)=C₂

Если  , то ,

.

И изображение уравнения имеет вид

Отсюда

Согласно приложению

,

Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:

если  .

Пример  6

Операционный метод  может быть применён для решения  нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.

Для уравнения теплопроводности будем решать I краевую задачу:

a²=const, u(x,0)=φ(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ₁(t), u(l,t)=ψ₂(t), 0 ≤ x ≤ l – краевые условия.

Пусть все функции  являются оригинальными. Обозначим

- изображение по Лапласу. 

Тогда

Тогда краевые условия:

Уравнение в изображениях:

 

Библиографический список.

 

1. Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.
2. Белослюдова В.В., Дронсейка И.П. Специальные разделы математики.Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., 2005
4. Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Под ред. В.И. Азаматовой. Минск, 1976

 

Приложение

 

Таблица оригиналов и их изображений.

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
1
t

2