Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Page 1

Контрольная работа
"Решение тригонометрических уравнений и неравенств"
1. Решить уравнение
А)
x
x
x
x
3
cos
*
6
cos
7
cos
*
4
cos
Используем формулу:
)
cos(
)
cos(
2
1
cos
cos
, получим:
x
x
x
x
3
cos
9
cos
2
1
3
cos
11
cos
2
1
,
x
x
x
x
3
cos
9
cos
3
cos
11
cos
,
x
x
9
cos
11
cos
, зная, что если
cos
cos
, то
n
2
, где n Є Z, получим:
Z
n
где
n
x
n
x
,
2
2
2
20
,
Z
n
где
n
x
n
x
,
10
, так как второе уравнение в системе включается в первое запишем
ответ.
Ответ:
Z
n
где
n
x
,
10
.
Б) sin 4x – cos 4x * tg 2x= 3
Используем формулы:
2
1
2
2
sin
tg
tg
,
2
2
1
1
2
cos
tg
tg
, получим:
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
, приведем к общему знаменателю:
3
2
1
2
)
2
1(
2
2
2
2
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
, раскроем скобки:
3
2
1
2
2
2
2
2
3
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
,
3
2
1
2
2
2
3
x
tg
x
tg
x
tg
,
3
2
1
)
2
1(
2
2
2
x
tg
x
tg
x
tg
, после сокращения получим:
3
2x
tg
,
Z
n
где
n
arctg
x
,
3
2
,
Z
n
где
n
x
,
3
2
,
Z
n
где
n
x
,
2
6
.
Ответ:
Z
n
где
n
x
,
2
6
.

---

Page 2

2. Используя замену переменной решить уравнение
A) 1-sin 2x = cos x – sin x
Используем следующие тригонометрические формулы:
4
sin
2
2
sin
1
2
и
4
sin
2
sin
cos
, получим:
x
x
4
sin
2
4
sin
2
2
,
2
4
sin
2
x
,
2
2
4
sin
x
,
Z
n
где
n
n
x
,
2
2
2
arcsin
2
2
2
arcsin
4
,
Z
n
где
n
n
x
,
2
4
2
4
4
,
Z
n
где
n
n
x
,
2
4
4
3
2
4
4
,
Z
n
где
n
n
x
,
2
2
2
.
Ответ:
Z
n
где
n
n
x
,
2
2
2
.
B)
4
2
2
4
4
x
ctg
x
tg
x
ctg
x
tg
Используем алгебраическую формулу квадрата суммы:
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
, запишем
ее в следующем виде:
ab
b
a
b
a
2
)
(
2
2
2
, таким образом, сумму
x
ctg
x
tg
4
4
можно
записать как:
ctgx
tgx
x
ctg
x
tg
x
ctg
x
tg
x
ctg
x
tg
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
4
4
, подставим в
исходное уравнение и получим:
4
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
x
ctg
x
tg
ctgx
tgx
x
ctg
x
tg
, зная, что
1
ctgx
tgx
, получим:
4
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
x
ctg
x
tg
x
ctg
x
tg
,
0
6
)
(
)
(
2
2
2
2
2
x
ctg
x
tg
x
ctg
x
tg
, используем замену:
x
ctg
x
tg
y
2
2
, получим:
0
6
2
y
y
, решив уравнение, получим:
3
1
y
, и
2
2
y
.
Далее учитывая замену, получим:
1)
3
2
2
x
ctg
x
tg
- уравнение не имеет смысла, так как сумма квадратов всегда число
положительное, следовательно, данное решение нам не подходит,
2)
2
2
2
x
ctg
x
tg
, зная, что
1
ctg
tg
, умножим правую часть на это выражение:
сtgx
tgx
x
ctg
x
tg
2
2
2
, перенесем все в левую сторону, получим:
0
2
2
2
сtgx
tgx
x
ctg
x
tg
, то есть получили развернутую формулу разности квадратов
(
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
), свернем ее и получим уравнение:
0
)
(
2
ctgx
tgx
, откуда
0
ctgx
tgx
или
ctgx
tgx
, откуда
следует,
что
Z
n
где
n
x
,
4
.
Ответ:
Z
n
где
n
x
,
4
.

---

Page 3

3. Используя разложение на множители, решите уравнение
А)
x
x
x
x
6
sin
5
sin
4
sin
3
sin
2
2
2
2
Используем формулу понижения степени:
2
cos
2
1
2
1
sin
2
, и перенесем все в левую
часть уравнения, получим:
0
12
cos
2
1
2
1
10
cos
2
1
2
1
8
cos
2
1
2
1
6
cos
2
1
2
1
x
x
x
x
, раскроем скобки:
0
12
cos
2
1
2
1
10
cos
2
1
2
1
8
cos
2
1
2
1
6
cos
2
1
2
1
x
x
x
x
, сократим и сгруппируем:
0
12
cos
2
1
10
cos
2
1
8
cos
2
1
6
cos
2
1
x
x
x
x
,
0
8
cos
10
cos
2
1
6
cos
12
cos
2
1
x
x
x
x
, далее
используем
формулу
разности
косинусов:
2
sin
2
sin
2
cos
cos
, получим уравнение:
0
sin
9
sin
3
sin
9
sin
x
x
x
x
,
0
)
sin
3
(sin
9
sin
x
x
x
,
далее
используем
формулу
суммы
синусов:
2
cos
2
sin
2
sin
sin
, тогда получим:
0
cos
2
sin
9
sin
2
x
x
x
, таким образом, уравнение имеет три группы решений:
1)
0
9
sin x
,
Z
n
где
n
x
,
9
,
Z
n
где
n
x
,
9
1
,
2)
0
2
sin x
,
Z
m
где
m
x
,
2
,
Z
m
где
m
x
,
2
2
,
3)
0
cos x
,
Z
k
где
k
x
,
2
3
.
Ответ:
Z
n
где
n
x
,
9
1
,
Z
m
где
m
x
,
2
2
,
Z
k
где
k
x
,
2
3
.
4. Решить уравнение 3-мя способами
(Формула 2-ого угла, метод вспомогательного угла, тригонометрическая
подстановка)
2sin x - 3cos x = 2
1) Используем формулы двойного угла:
cos
sin
2
2
sin
и
2
2
sin
cos
2
cos
, получим:
2
2
sin
3
2
cos
3
2
cos
2
sin
4
2
2
x
x
x
x
.
Зная, что
1
cos
sin
2
2
, умножим правую часть на это выражение и перенесем все в
левую сторону:
0
2
cos
2
2
sin
2
2
sin
3
2
cos
3
2
cos
2
sin
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
,
0
2
sin
2
cos
5
2
cos
2
sin
4
2
2
x
x
x
x
. Очевидно, что
0
2
cos
x
, так как в случае равенства
косинуса нулю, исходя из уравнения, и синус должен был бы быть равен нулю, но синус и
косинус одного и того же угла нулю равняться одновременно не могут.
В таком случае, разделим уравнение на
0
2
cos
2
x
, получим следующее уравнение:

---

Page 4

0
2
5
2
4
2
x
tg
x
tg
.
Используем замену:
2
x
tg
y
, получим алгебраическое уравнение:
0
5
4
2
y
y
, решив его, получим:
5
1
y
, и
1
2
y
.
Далее учитывая замену, получим:
1)
5
2
x
tg
,
n
arctg
x
)5
(
2
,
Z
n
где
n
arctg
x
,
2
5
2
1
,
2)
1
2
x
tg
,
m
arctg
x
1
2
,
Z
m
где
m
x
m
x
,
2
2
,
2
4
2
2
.
Ответ:
Z
n
где
n
arctg
x
,
2
5
2
1
,
Z
m
где
m
x
,
2
2
2
.
2) Уравнения вида
c
x
b
x
a
cos
sin
, где
c
b
a ,
,
- любые действительные числа,
можно также решить методом введения вспомогательного угла (аргумента):
2
,3
,2
c
b
a
.
13
9
4
)3
(
2
2
2
2
2
b
a
,
4
2
2
2
c
,
2
2
2
c
b
a
- уравнение имеет решение.
Применим формулу:
c
x
x
b
a
)
cos
sin
sin
(cos
2
2
, получим:
2
)
cos
sin
sin
(cos
)3
(
2
2
2
x
x
,
2
)
sin(
13
x
, где
a
b
arctg
,
13
2
)
sin(x
,
n
x
n
13
2
arcsin
)1
(
,
n
x
n
13
2
arcsin
)1
(
, где
5,
1
)
2
3
(
arctg
arctg
, то есть
Z
n
где
n
arctg
x
n
,
5,
1
13
2
arcsin
)1
(
.
Ответ:
Z
n
где
n
arctg
x
n
,
5,
1
13
2
arcsin
)1
(
. (При проверке на калькуляторе,
данный ответ совпадает с ответом, полученным первым методом.)
3) Используем тригонометрическую подстановку вида:
2
1
2
2
sin
2
tg
tg
и
2
1
2
1
cos
2
2
tg
tg
, получим уравнение следующего вида:
2
2
1
2
1
3
2
1
2
2
2
2
2
2
tg
tg
tg
tg
, приведем к общему знаменателю:
2
2
1
2
3
3
2
4
2
2
tg
tg
tg
,
)
2
1(
2
2
3
3
2
4
2
2
tg
tg
tg
, перенесем все в левую часть:
0
2
2
2
2
3
3
2
4
2
2
tg
tg
tg
,

---

Page 5

0
5
2
4
2
2
tg
tg
.
Используем замену:
2
x
tg
y
, получим алгебраическое уравнение:
0
5
4
2
y
y
, решив его, получим:
5
1
y
, и
1
2
y
.
Далее учитывая замену, получим:
1)
5
2
x
tg
,
n
arctg
x
)5
(
2
,
Z
n
где
n
arctg
x
,
2
5
2
1
,
2)
1
2
x
tg
,
m
arctg
x
1
2
,
Z
m
где
m
x
m
x
,
2
2
,
2
4
2
2
.
Ответ:
Z
n
где
n
arctg
x
,
2
5
2
1
,
Z
m
где
m
x
,
2
2
2
.
5. Решите неравенства
А)
75
,0
)
3
3
(
sin
2
x
Избавляемся от корня в левой части, внеся выражение под знак модуля:
4
3
)
3
3
(
sin
x
, избавляемся от знака модуля следующим образом:
2
3
3
3
sin
2
3
x
, рассмотрим отдельно каждую из частей неравенства:
1)
2
3
3
3
sin
x
,
n
x
n
2
3
3
3
2
3
4
,
n
x
n
2
3
2
3
5
,
n
x
n
3
2
3
2
9
5
, или (в нормальном
виде):
n
x
n
3
2
9
5
3
2
.
2)
2
3
3
3
sin
x
,
n
x
n
2
3
4
3
3
2
3
,
n
x
n
2
3
2
,
n
x
n
3
2
3
3
2
, или (в нормальном
виде):
n
x
n
3
2
3
2
3
.
На пересечении найденных двух решений общее решение имеет вид:
n
x
n
3
2
9
5
3
2
3
.
Ответ:
n
x
n
3
2
9
5
3
2
3
, где n Є Z.
Б)
8
5
cos
sin
4
4
x
x
Сделаем преобразования
x
x
x
x
x
4
2
2
2
2
2
4
sin
sin
2
1
)
sin
1(
)
(cos
cos
и подставим
в неравенство:
0
8
5
sin
sin
2
1
sin
4
2
4
x
x
x
,

---

Page 6

0
8
3
sin
2
sin
2
2
4
x
x
,
0
16
3
sin
sin
2
4
x
x
.
Используем замену:
x
у
2
sin
, получим:
0
16
3
2
y
у
, решим неравенство методом интервалов:
4
3
,
4
1
2
1
y
у
, разложив на множители, получим:
0
)
4
3
(
)
4
1
(
y
у
Следовательно, решение неравенства имеет вид:
4
3
4
1
y
, а учитывая сделанную замену:
4
3
sin
4
1
2
x
,
2
3
sin
2
1
x
, решение данного двойного неравенства найдем графическим методом:
Следовательно, ответ имеет вид:
n
x
n
2
3
2
6
, где n Є Z.
Ответ:
n
x
n
2
3
2
6
, где n Є Z.
6. Используя замену решить неравенства
A)
2
2
sin x
tgx
Используем формулу синуса двойного угла:
2
1
2
2
sin
2
tg
tg
, получим:
0
2
1
2
2
x
tg
tgx
tgx
, приведем к общему знаменателю, получим:
0
1
1
2
2
1
2
2
2
x
tg
x
tg
tgx
x
tg
tgx
, раскроем скобки:

---

Page 7

0
1
2
2
2
2
2
3
x
tg
x
tg
tgx
x
tg
tgx
, преобразуем:
0
1
2
3
2
2
2
3
x
tg
tgx
x
tg
x
tg
, так как
знаменатель данной дроби число положительное (сумма квадрата и положительного
числа) при любых значениях Х, то, следовательно, необходимо решить неравенство:
0
2
3
2
2
3
tgx
x
tg
x
tg
Используем замену:
tgx
у
, получим:
0
2
3
2
2
3
y
y
y
, разложив левую часть на множители, получим:
0
2
1
2
y
y
y
, заметим, что выражение, содержащееся во вторых скобках всегда
положительно, так как квадрат числа (число положительное) всегда больше самого числа
либо равно ему.
Следовательно, необходимо решить неравенство:
0
1
y
, его решение
1
y
.
Учитывая сделанную замену, получим:
1
tgx
. Тогда
n
x
n
2
4
, где n Є Z,
правая часть неравенства приняла строгий вид (<), так как это граница области
определения функции тангенса, а которой его значение не существует.
Ответ:
n
x
n
2
4
, где n Є Z.
Б)
0
cos
3
2
sin
sin
2
2
x
x
x
Используем формулу синуса двойного угла:
cos
sin
2
2
sin
, получим неравенство:
0
cos
3
cos
sin
2
sin
2
2
x
x
x
x
Разделим неравенство на cos
2
x (знак неравенства не изменится, так как квадрат числа
всегда число положительное), получим:
0
cos
cos
3
cos
cos
sin
2
cos
sin
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
, преобразуем и получим неравенство вида:
0
3
2
2
tgx
x
tg
.
Используем замену:
tgx
у
, получим:
0
3
2
2
y
y
, разложим на множители, получим:
0
)1
)(
3
(
y
y
, решим неравенство методом интервалов:
1
3
y
y
Учитывая замену, получим:
1
3
tgx
tgx
, с учетом периода функции тангенс и его область определения запишем ответ.
Ответ:
n
n
arctg
n
x
2
;
4
3
;
2
, где n Є Z.
7. Используя метод интервалов решите неравенство
А)
4x
cos
2x
sin
5x
cos
sin x
Используем
формулу
произведения синуса
и
косинуса
различных
углов:
)
sin(
)
sin(
2
1
cos
sin
, получим:
x
x
x
x
2
sin
6
sin
2
1
4
sin
6
sin
2
1
, сократив
x6
sin
2
1
и умножив на 2 обе части
неравенства, получим:
x
x
2
sin
4
sin
, или
0
2
sin
4
sin
x
x
, используем формулу синуса
двойного угла, получим:

---

Page 8

0
2
sin
2
cos
2
sin
2
x
x
x
,
0
)1
2
cos
2(
2
sin
x
x
Решим данное неравенство методом интервалов:
Для этого сначала найдем нули:
0
)1
2
cos
2(
2
sin
x
x
,
1)
0
2
sin x
,
n
x2
,
Z
n
где
n
x
,
2
,
2)
0
1
2
cos
2
x
,
2
1
2
cos x
,
n
x
2
3
2
,
Z
n
где
n
x
,
6
.
0
)1
2
cos
2(
2
sin
x
x
Так как неравенство имело знак меньше нуля,
то нас интересуют "–", следовательно, ответ
можно записать следующим образом:
n
n
n
n
x
2
;
6
;
6
,
где n Є Z.
Ответ:
n
n
n
n
x
2
;
6
;
6
, где n Є Z.