Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1). Объявляя условие  раскрытия одного модуля, можно  пользоваться им для раскрытия  других модуле тем самым, выигрывая  время в решении задачи.  
2). Последовательность действий, направленных на поиск ответа, позволяет контролировать и проверять промежуточные результаты. Необходимость раскрытия модуля, что для некоторых заданий приводит к потере темпа в получении ответа.

 
Метод интервалов .

Самый эффективный  способ, так как сопровождается относительно небольшим объемом работы. В силу необходимости нахождения концов интервалов может возникнуть ситуация, когда  соответствующее уравнение либо вызывает серьезные затруднения  при определении корней, либо недоступно ученику на данном этапе обучения. 
Графический метод .

Данный способ имеет  очень широкое применение в других темах школьного курса математики. Ответ определяется приблизительно.  
Метод решения при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел.

 В некоторых  случаях применение данного способа  позволяет решать уравнения определенного  вида на более раннем этапе.  В некоторых случаях выбор  данного способа приводит к  громоздкому решению, а иногда  решение сводится к уравнению,  недоступному для ученика на  данном этапе обучения.  
Геометрическая интерпретация модуля ,

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто  позволяет избежать громоздких решений. Применение данного способа ограничивается уравнениями определенного вида.  

 
Проанализировав достоинства и недостатки каждого из указанных способов, можно  с уверенностью сказать, что на мотивационном  этапе формирования умения решать уравнения  с модулем ученикам следует показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и, главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения – выбор самого эффективного способа.  

Определение неравенства

Неравенство — соотношение  между числами (или любыми математическими  выражениями, способными принимать  численное значение), указывающее, какое  из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно  по определенным правилам производить  следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

 Результат сравнения любых чисел a и b можно записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =,<,>(алгебра   7 класс, Ю.Н.Макарычев).

 Неравенства вида , где и – числа (числовые выражения), называются числовыми.                                  

• запись означает, что a меньше, чем b;
• запись означает, что a больше, чем b.
• запись означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством.

В противоположность  им нестрогие неравенства означают следующее:

• запись а≤b означает, что a меньше либо равно b;
• запись а≥b означает, что a больше либо равно b.

Основные  свойства числовых неравенств.

1. Если a>b ,то b<a;
2. Если a>b и b>c, то a>c;
3. Если a>b, то a+c>b+c;
4. Если a+b>c, то a> c-b;
5. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
6. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство.

Решить неравенство - значит указать границы, в которых  должны заключаться значения неизвестных  величин, чтобы неравенство было верным. 
 
 
 

 Неравенства вида , где – линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.

     Всякое  значение переменной, при котором  данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

     Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Тема "Неравенства" занимает важное место в курсе  алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения  неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного  курса алгебры. Это объясняется  тем, что уравнения и неравенства  широко используются в различных  разделах математики, в решении важных прикладных задач.

 
Неравенства с модулем 

Основные способы  решений неравенств с модулем  во многом совпадают с методами решения  аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать  равносильные переходы и следить  не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы  не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения  неравенств с модулем заключается  в том, что координатная прямая разбивается  на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях  может быть затруднена его техническая  реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности  иного плана. Нужно понимать, что  раскрытие модуля по определению  неизменно приводит к цели. Конечно  же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при  решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих  множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим два случая: 1) и                   2) .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

Преобразуя первое неравенство к виду , получим:

Решение неравенства  .

Преобразуя второе неравенство  , получим:

Решение неравенства  . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

Решение первого  неравенства  (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к , его решение :

Решение системы  — пересечение множеств решений  двух неравенств, то есть .

Общее решение исходного  неравенства — объединение решений  обоих случаев.

Ответ. .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.                                                                                              

Ответ. .  
Завершая рассмотрение различных способов решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, еще раз отметим тот важный факт, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.

 
Таким образом, можно сделать следующий  вывод: систематическое использование  различных способов для решения  уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, приводит не только к повышению интереса к математике, повышению творческой активности школьников, но и повышает уверенность детей в собственных силах, так как у них имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.